Thèse soutenue

Processus de contact avec ralentissements aléatoires : transition de phase et limites hydrodynamiques

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Auteur / Autrice : Kevin Kuoch
Direction : Ellen Saada
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 28/11/2014
Etablissement(s) : Paris 5
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5 / MAP5
Jury : Président / Présidente : Frank Redig
Examinateurs / Examinatrices : Ellen Saada, Frank Redig, Thierry Bodineau, Thomas Mountford, Mustapha Mourragui, Rinaldo B. Schinazi
Rapporteurs / Rapporteuses : Thierry Bodineau, Thomas Mountford

Résumé

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Dans cette thèse, on étudie un système de particules en interaction qui généralise un processus de contact, évoluant en environnement aléatoire. Le processus de contact peut être interprété comme un modèle de propagation d'une population ou d'une infection. La motivation de ce modèle provient de la biologie évolutive et de l'écologie comportementale via la technique du mâle stérile, il s'agit de contrôler une population d'insectes en y introduisant des individus stérilisés de la même espèce: la progéniture d'une femelle et d'un individu stérile n'atteignant pas de maturité sexuelle, la population se voit réduite jusqu'à potentiellement s'éteindre. Pour comprendre ce phénomène, on construit un modèle stochastique spatial sur un réseau dans lequel la population suit un processus de contact dont le taux de croissance est ralenti en présence d'individus stériles, qui forment un environnement aléatoire dynamique. Une première partie de ce document explore la construction et les propriétés du processus sur le réseau Z^d. On obtient des conditions de monotonie afin d'étudier la survie ou la mort du processus. On exhibe l'existence et l'unicité d'une transition de phase en fonction du taux d'introduction des individus stériles. D'autre part, lorsque d=1 et cette fois en fixant l'environnement aléatoire initialement, on exhibe de nouvelles conditions de survie et de mort du processus qui permettent d'expliciter des bornes numériques pour la transition de phase. Une seconde partie concerne le comportement macroscopique du processus en étudiant sa limite hydrodynamique lorsque l'évolution microscopique est plus complexe. On ajoute aux naissances et aux morts des déplacements de particules. Dans un premier temps sur le tore de dimension d, on obtient à la limite un système d'équations de réaction-diffusion. Dans un second temps, on étudie le système en volume infini sur Z^d, et en volume fini, dans un cylindre dont le bord est en contact avec des réservoirs stochastiques de densités différentes. Ceci modélise des phénomènes migratoires avec l'extérieur du domaine que l'on superpose à l'évolution. À la limite on obtient un système d'équations de réaction-diffusion, auquel s'ajoutent des conditions de Dirichlet aux bords en présence de réservoirs.