Mesure et juste mesure chez Platon

par Thomas Auffret

Thèse de doctorat en Philosophie

Sous la direction de Annick Jaulin et de Marwan Rashed.

Soutenue le 29-11-2014

à Paris 1 , dans le cadre de École doctorale Philosophie (Paris) , en partenariat avec Groupe de recherches Antiquité, moyen-âge, transmission arabe (Paris) (équipe de recherche) .

Le président du jury était Thomas Bénatouïl.

Le jury était composé de Annick Jaulin, Marwan Rashed, Alain Michel, Ioannis Vandoulakis.

Les rapporteurs étaient Anne Merker.


  • Résumé

    On examine ici deux concepts fondamentaux touchant la genèse et la structure du système platonicien, en proposant de les rapporter à deux modèles empruntés à la mathématique ancienne. Le premier est un postulat, usuellement désigné sous le nom d’axiome d’Eudoxe – Archimède, le second un algorithme de calcul : l’anthyphérèse. Tous deux ressortissent à la théorie mathématique développée par Théétète à la suite des travaux logistiques de Théodore ; il a semblé que leur articulation constituait le socle théorique de la réponse platonicienne à la thèse protagoréenne de l’homo mensura. On a suggéré de replacer cette dernière dans le cadre d’une polémique ancienne regardant la consistance du concept mathématique de mesure, dont la notion naïve fut remise en cause par la découverte successive des rapports incommensurables puis d’ensembles non–archimédiens : les angles mixtilignes. Cela impliquait de réexaminer les rapports possibles entre mathématiques et sophistique : on a choisi à cet effet l’exemple de la quadratrice d’Hippias d’Élis. Il convenait aussi d’envisager la liaison étroite qu’entretiennent la dialectique platonicienne et cette science métrétique rénovée que Platon nomme «juste mesure». On a tenté de montrer comment celle-ci pouvait informer certains procédés de celle-là, à partir de l’étude de quelques passages des dialogues qui jalonnent la dernière période de Platon. La théorie de la division appliquée aux Idées, comme l’analyse et la constitution des mixtes cosmologique, politique et individuel ont ainsi paru pouvoir être examinées dans le cadre de cette hypothèse.

  • Titre traduit

    Plato's theory of measure


  • Résumé

    Two mathematical notions seem to structure Plato’s theory of measure. The first one is a postulate, usually known as the “Eudoxus axiom”, the other an algorithm called “anthuphairesis”. Both of them belonged to the mathematical theory developed by Theaetetus expanding Theodorus’ logistics. The main hypothesis of this work is that they constitute the core of Plato’s response against the Homo mensura thesis elaborated by Protagoras. We have thus proposed to replace Protagoras’ theory in the enlarged context of a serious crisis affecting the logical consistency of the mathematical notion of measure, provoked by the discovery of incommensurable magnitudes as well as non–Archimedean sets, exemplified by mixtilinear angles. This implied to examine anew the links between ancient sophistic and mathematics, and particularly Plato’s critics against Hippias’ quadratrix. It was also required to study the close relation between platonic dialectic and the new art of measurement exposed by Plato in the Statesman. Thus, by studying some passages mainly taken from Plato’s last dialogues, an attempt has been made to show how the higher art of measurement could inform dialectics. Plato’s theory of division, as well as the analysis and the generation of the mixed structures which constitute the universe, the city and the individual man have thus been tentatively reduced to this model.

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