Coloriage du plan discret par jeux de tuiles déterministes

Coloring the discrete plane using deterministic tilesets

• Auteur / Autrice : Bastien Le Gloannec
• Direction : Nicolas Ollinger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 12/12/2014
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique fondamentale d'Orléans (Orléans ; 1987-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne Siegel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Nicolas Ollinger, Anne Siegel, Fabien Durand, Bruno Durand, Olivier Bournez, Emmanuel Jeandel, Inès Klimann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fabien Durand, Bruno Durand

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permutations (mathématiques)

Coloriage (mathématiques)

Pavage (mathématiques)

Mots clés libres

Tuiles de Wang

Jeux de tuiles déterministes

Problème du pavage

Indécidabilité

Substitutions

Soficité

Particules et collisions

Wang tiles

Deterministic tilesets

Domino problem

Undecidability

Substitutions

Soficity

Particles and collisions

Résumé

Nous étudions dans ce mémoire les propriétés des ensembles de pavages engendrés par des jeux de tuiles de Wang exhibant une ou plusieurs directions de déterminisme local, en accordant une importance toute particulière aux jeux déterministes dans les quatre directions diagonales simultanément, dits 4-way déterministes. Après avoir proposé une construction alternative d’un jeu de tuiles apériodique 4-way déterministe, nous étudions plusieurs problèmes de décision sur ces objets et complétons en particulier le résultat d’indécidabilité du problème du pavage dans le cadre 4-way déterministe établi par Lukkarila en montrant l’indécidabilité du problème du pavage périodique 4-way déterministe. Nous montrons également que des familles complexes de coloriages du plan telles que celles engendrées par les substitutions restent sofiques dans un cadre 4-way déterministe. Nous proposons une bi-déterminisation des constructions de jeux de tuiles point-fixe de Durand, Romashchenko et Shen et en tirons quelques premières applications. Enfin, nous considérons l’opportunité d’élargir le rayon de la règle locale de déterminisme afin de limiter les directions d’expansivité et ainsi de permettre la construction localement déterministe de systèmes de particules et collisions non triviaux. Nous introduisons un nouveau modèle syntaxique commode afin de travailler à rayon deux et revisitons des problématiques de Lukkarila dans ce cadre.

In this thesis, we study some properties of the sets of tilings generated by Wang tilesets that exhibit one or more directions of local determinism, focusing in particular on tilesets that are simultaneously deterministic in the four diagonal directions, referred to as 4-way deterministic. After having exposed an alternative construction of a 4-way deterministic aperiodic tileset, we study several decision problems on these objects and complete in particular Lukkarila’s result of undecidability of the Domino Problem in the 4-way deterministic setting proving the undecidability of the 4-way deterministic periodic Domino Problem. We also prove that some complex families of colorings of the plane such that those generated by substitutions remain sofic in the 4-way deterministic setting. We propose a bi-determinization of the constructions by Durand, Romashchenko and Shen of fixed-point tilesets and give some first applications. Finally, we investigate the idea of extending the radius of the local rule of determinism in order to reduce the set of directions of expansiveness and thus allow the local realization of non-trivial particles and collisions systems. We introduce a new and convenient syntactic model to deal with radius two and revisit some of Lukkarila’s problems in this setting.