Méthodes probabilistes pour l'analyse des algorithmes sur les tesselations aléatoires

Probabilistic methods for the analysis of algorithms on random tessellations

• Auteur / Autrice : Ross Hemsley
• Direction : Olivier Devillers
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 16/12/2014
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - GEOMETRICA / INRIA Sophia Antipolis / INRIA Saclay - Ile de France
• Jury : Président / Présidente : Pierre Calka
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Devillers, Pierre Calka, Luc Devroye, Jean-François Marckert, Nicolas Broutin, Kevin Buchin
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Luc Devroye, Jean-François Marckert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Géométrie stochastique

Routage (informatique)

Triangulation

Mots clés libres

Triangulation de Delaunay

Routage dans les réseaux

Géométrie stochastique

Théorie des probabilités

Delaunay triangulation

Routing in networks

Stochastic geometry

Probability theory

Average case analysis

Résumé

Dans cette thèse, nous exploitons les outils de la théorie des probabilités et de la géométrie stochastique pour analyser des algorithmes opérant sur les tessellations. Ce travail est divisé entre deux thèmes principaux, le premier traite de la navigation dans une tessellation de Delaunay et dans son dual, le diagramme de Voronoï avec des implications pour les algorithmes de localisation spatiales et de routage dans les réseaux en ligne. Nous proposons deux nouveaux algorithmes de navigation dans la triangulation de Delaunay, que nous appelons Pivot Walk et Cone Walk. Pour Cone Walk, nous fournissons une analyse en moyenne détaillée avec des bornes explicites sur les propriétés de la pire marche possible effectuée par l'algorithme sur une triangulation de Delaunay aléatoire d'une région convexe bornée. C'est un progrès significatif car dans l'algorithme Cone Walk, les probabilités d'utiliser un triangle ou un autre au cours de la marche présentent des dépendances complexes, dépendances inexistantes dans d'autres marches. La deuxième partie de ce travail concerne l'étude des propriétés extrémales de tessellations aléatoires. En particulier, nous dérivons les premiers et derniers statistiques d'ordre pour les boules inscrites dans les cellules d'un arrangement de droites Poissonnien; ce résultat a des implications par exemple pour le hachage respectant la localité. Comme corollaire, nous montrons que les cellules minimisant l'aire sont des triangles.

In this thesis, we leverage the tools of probability theory and stochastic geometry to investigate the behavior of algorithms on geometric tessellations of space. This work is split between two main themes, the first of which is focused on the problem of navigating the Delaunay tessellation and its geometric dual, the Voronoi diagram. We explore the applications of this problem to point location using walking algorithms and the study of online routing in networks. We then propose and investigate two new algorithms which navigate the Delaunay triangulation, which we call Pivot Walk and Cone Walk. For Cone Walk, we provide a detailed average-case analysis, giving explicit bounds on the properties of the worst possible path taken by the algorithm on a random Delaunay triangulation in a bounded convex region. This analysis is a significant departure from similar results that have been obtained, due to the difficulty of dealing with the complex dependence structure of localized navigation algorithms on the Delaunay triangulation. The second part of this work is concerned with the study of extremal properties of random tessellations. In particular, we derive the first and last order-statistics for the inballs of the cells in a Poisson line tessellation. This result has implications for algorithms involving line tessellations, such as locality sensitive hashing. As a corollary, we show that the cells minimizing the area are triangles.