Matrices de moments, géométrie algébrique réelle et optimisation polynomiale

Moments matrices, real algebraic geometry and polynomial optimization

• Auteur / Autrice : Marta Abril Bucero
• Direction : Bernard Mourrain
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 12/12/2014
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - GALAAD
• Jury : Président / Présidente : André Galligo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Mourrain, André Galligo, Didier Henrion, Markus Schweighofer, Mohab Safey El Din, María Emilia Alonso García
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Didier Henrion, Markus Schweighofer, Mohab Safey El Din

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Programmation semidéfinie

Relaxation, Méthodes de (mathématiques)

Matrices

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Optimisation polynomiale

Matrices de moments

Méthode de relaxation

Base de bord

Extension plate

Programmation semi-définie

Variété de Fritz-John

Polynomial optimization

Moment matrices

Relaxation method

Border basis

Flat extension

Semi definite programming

Fritz-John variety

Résumé

Le but de cette thèse est de calculer l'optimum d'un polynôme sur un ensemble semi-algébrique et les points où cet optimum est atteint. Pour atteindre cet objectif, nous combinons des méthodes de base de bord avec la hiérarchie de relaxation convexe de Lasserre afin de réduire la taille des matrices de moments dans les problèmes de programmation semi-définie positive (SDP). Afin de vérifier si le minimum est atteint, nous apportons un nouveau critère pour vérifier l'extension plate de Curto Fialkow utilisant des bases orthogonales. En combinant ces nouveaux résultats, nous fournissons un nouvel algorithme qui calcule l'optimum et les points minimiseurs. Nous décrivons plusieurs expérimentations et des applications dans différents domaines qui prouvent la performance de l'algorithme. Au niveau théorique nous prouvons aussi la convergence finie d'une hiérarchie SDP construite à partir d'un idéal de Karush-Kuhn-Tucker et ses conséquences dans des cas particuliers. Nous étudions aussi le cas particulier où les minimiseurs ne sont pas des points de KKT en utilisant la variété de Fritz-John.

The objective of this thesis is to compute the optimum of a polynomial on a closed basic semialgebraic set and the points where this optimum is reached. To achieve this goal we combine border basis method with Lasserre's hierarchy in order to reduce the size of the moment matrices in the SemiDefinite Programming (SDP) problems. In order to verify if the minimum is reached we describe a new criterion to verify the flat extension condition using border basis. Combining these new results we provide a new algorithm which computes the optimum and the minimizers points. We show several experimentations and some applications in different domains which prove the perfomance of the algorithm. Theorethically we also prove the finite convergence of a SDP hierarchie contructed from a Karush-Kuhn-Tucker ideal and its consequences in particular cases. We also solve the particular case where the minimizers are not KKT points using Fritz-John Variety.