Schémas de type Godunov pour la modélisation hydrodynamique et magnétohydrodynamique

par Jeaniffer Vides Higueros

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Boniface Nkonga et de Hervé Guillard.

Soutenue le 21-10-2014

à Nice , dans le cadre de École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice) , en partenariat avec Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) (laboratoire) , INRIA Sophia Antipolis (laboratoire) et de Maison de la Simulation (laboratoire) .

Le président du jury était Alain Dervieux.

Le jury était composé de Boniface Nkonga, Hervé Guillard, Alain Dervieux, Dinshaw Balsara, Bruno Després, Edouard Audit, Pierre-Henri Maire.

Les rapporteurs étaient Dinshaw Balsara, Bruno Després.

mots clés

• Schéma de type Godunov
• Solveur de Riemann multidimensionnel
• Solveur de Riemann approché
• Méthode de relaxation
• Lois de conservation
• Dynamique des gaz
• Magnétohydrodynamique
• Effets gravitationnels
• Solveurs (logiciels)
• Lois de conservation (mathématiques)
• Gaz, Dynamique des
• Magnétohydrodynamique

Résumé

L’objectif principal de cette thèse concerne l’étude, la conception et la mise en œuvre numérique de schémas volumes finis associés aux solveurs de type Godunov. On s’intéresse à des systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires, avec une attention particulière sur les équations d’Euler et les équations MHD idéale. Tout d’abord, nous dérivons un solveur de Riemann simple et véritablement multidimensionnelle, pouvant s’appliquer à tout système de lois de conservation. Ce solveur peut être considéré comme une généralisation 2D de l’approche HLL. Les ingrédients de base de la dérivation sont : la consistance avec la formulation intégrale et une utilisation adéquate des relations de Rankine-Hugoniot. Au final nous obtenons des expressions assez simples et applicables dans les contextes des maillages structurés et non structurés. Dans un second temps, nous nous intéressons à la préservation, au niveau discret, de la contrainte de divergence nulle du champ magnétique pour les équations de la MHD idéale. Deux stratégies sont évaluées et nous montrons comment le solveur de Riemann multidimensionnelle peut être utilisé pour obtenir des simulations robustes à divergence numérique nulle. Deux autres points sont abordés dans cette thèse : la méthode de relaxation pour un système Euler-Poisson pour des écoulements gravitationnels en astrophysique, la formulation volumes finis en coordonnées curvilignes. Tout au long de la thèse, les choix numériques sont validés à travers de nombreux résultats numériques.

mots clés

• Godunov-type scheme
• Multidimensional Riemann solver
• Approximate Riemann solver
• Relaxation method
• Conservation laws
• Gas dynamics
• Magnetohydrodynamics
• Gravitational effects

Titre traduit

Godunov-type schemes for hydrodynamic and magnetohydrodynamic modeling

Résumé

The main objective of this thesis concerns the study, design and numerical implementation of finite volume schemes based on the so-Called Godunov-Type solvers for hyperbolic systems of nonlinear conservation laws, with special attention given to the Euler equations and ideal MHD equations. First, we derive a simple and genuinely two-Dimensional Riemann solver for general conservation laws that can be regarded as an actual 2D generalization of the HLL approach, relying heavily on the consistency with the integral formulation and on the proper use of Rankine-Hugoniot relations to yield expressions that are simple enough to be applied in the structured and unstructured contexts. Then, a comparison between two methods aiming to numerically maintain the divergence constraint of the magnetic field for the ideal MHD equations is performed and we show how the 2D Riemann solver can be employed to obtain robust divergence-Free simulations. Next, we derive a relaxation scheme that incorporates gravity source terms derived from a potential into the hydrodynamic equations, an important problem in astrophysics, and finally, we review the design of finite volume approximations in curvilinear coordinates, providing a fresher view on an alternative discretization approach. Throughout this thesis, numerous numerical results are shown.