Arrangements d'hyperplans

Hyperplane arrangements

• Auteur / Autrice : Pauline Bailet
• Direction : Alexandru Dimca
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/06/2014
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné
• Jury : Président / Présidente : Adam Parusiński
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandru Dimca, Adam Parusiński, Jean Vallès, Alexandru Suciu, Michel Granger, Stefan Papadima
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean Vallès, Alexandru Suciu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de monodromie

Treillis, Théorie des

Mots clés libres

Arrangement d'hyperplans

Treillis d'intersection

Fibre de Milnor

Monodromie

Hyperplane arrangement

Intersection lattice

Milnor fiber

Monodromy

Résumé

Cette thèse étudie la fibre de Milnor d'un arrangement d'hyperplans complexe central, et l'opérateur de monodromie sur ses groupes de cohomologie. On s'intéresse à la problématique suivante : peut-on déterminer l'opérateur de monodromie, ou au moins les nombres de Betti de la fibre de Milnor, à partir de l'information contenue dans le treillis d'intersection de l'arrangement? On donne deux théorèmes d'annulation des sous-espaces propres non triviaux de l'opérateur de monodromie. Le premier résultat s'applique à une large classe d'arrangements, le deuxième à des arrangements de droites projectives tels qu'il existe une droite contenant exactement un point de multiplicité supérieure ou égale à trois. Dans le dernier chapitre, on considère la structure de Hodge mixte des groupes de cohomologie de la fibre de Milnor d'un arrangement central et essentiel dans l'espace complexe de dimension quatre. On donne ensuite l'équivalence entre la trivialité de la monodromie, la nullité des coefficients non entiers du spectre de l'arrangement, et la nullité des nombres de Hodge mixtes des groupes de cohomologie de la fibre de Milnor.

This Ph.D.thesis studies the Milnor fiber of a central complex hyperplane arrangement, and the monodromy operator on its cohomology groups. Our aim is to study the following open question: is it possible to determinate the monodromy operator, or at least the Betti numbers of the Milnor fiber, just using the information contained in the intersection lattice of the arrangement? We give two vanishing results on the non trivial eigenspaces of the monodromy. The first one applies to a large class of arrangements, and the second one to projective line arrangements with a line containing exactly one point of multiplicity greater or equal to three.Then we consider the mixed Hodge structure of the cohomology groups of the Milnor fiber, for a central and essential hyperplane arrangement in the complex space of dimension four. In this case, we give the equivalence between triviality of the monodromy, Tate properties, and nullity of the non integer spectrum's coefficients.Keywords: hyperplane arrangement, intersection lattice, Milnor fiber, monodromy.