Interaction entre algèbre linéaire et analyse en formalisation des mathématiques

Interaction between linear algebra and analysis in formal mathematics

• Auteur / Autrice : Guillaume Cano
• Direction : Yves Bertot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 04/04/2014
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Nice ; 1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Jury : Président / Présidente : Christine Paulin-Mohring
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves Bertot, Christine Paulin-Mohring, Micaela Mayero, Douglas Howe, Stephen Watt
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Micaela Mayero, Julio Rubio

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre linéaire

Topologie

Théorie de la démonstration

Mots clés libres

Preuve formelle

Assistant de preuve

Topologie

Algèbre linéaire

Formal proof

Proof assistant

Topology

Linear algebra

Résumé

Dans cette thèse nous présentons la formalisation de trois résultats principaux que sont la forme normale de Jordan d’une matrice, le théorème de Bolzano-Weierstraß et le théorème de Perron-Frobenius. Pour la formalisation de la forme normale de Jordan nous introduisons différents concepts d’algèbre linéaire tel que les matrices diagonales par blocs, les matrices compagnes, les facteurs invariants, ... Ensuite nous définissons et développons une théorie sur les espaces topologiques et métriques pour la formalisation du théorème de Bolzano-Weierstraß. La formalisation du théorème de Perron-Frobenius n’est pas terminée. La preuve de ce théorème utilise des résultats d’algèbre linéaire, mais aussi de topologie. Nous montrerons comment les précédents résultats seront réutilisés.

In this thesis we present the formalization of three principal results that are the Jordan normal form of a matrix, the Bolzano-Weierstraß theorem, and the Perron-Frobenius theorem. To formalize the Jordan normal form, we introduce many concepts of linear algebra like block diagonal matrices, companion matrices, invariant factors, ... The formalization of Bolzano-Weierstraß theorem needs to develop some theory about topological space and metric space. The Perron-Frobenius theorem is not completly formalized. The proof of this theorem uses both algebraic and topological results. We will show how we reuse the previous results.