Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Lu Zhu
Direction : Xue-Ping Wang
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2014
Etablissement(s) : Nantes
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Xue-Ping Wang, Jean-Marc Bouclet
Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marc Bouclet

Résumé

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Cette thèse est consacrée à l’étude de l’équation de Schrödinger dissipative dépendant du temps, surtout à l’évolution à long terme des solutions du problème de Cauchy. Soit H = −Δ + V (x) l’opérateur de Schrödinger dissipatif, i. E. ℑV (x) ≤ 0. De plus, on suppose que la partie imaginaire de V (x) est assez petite de sorte qu’elle peuve être considérée comme une perturbation de la partie autoadjointe de l’opérateur. D’abord, nous étudions la complétude asymptotique de l’opérateur de la diffusion pour la paire (−Δ;H), sous condition que 0 soit un point régulier de la partie autoadjointe de H, désignée par H1. Cela signifie que 0 n’est ni une valeur propre, ni une résonance de H1. La preuve est basee sur une estimation globale de la résolvante qui est uniforme par rapport a la taille de la partie imaginaire du potentiel et sur la completude asymptotique de la diffusion quantique pour la paire d’opérateurs autoadjoints (−Δ;H1). Ensuite, pour mieux comprendre les comportements en grands temps de la dynamique quantique, nous étudions le développement asymptotique du semigroup e􀀀itH lorsque t tend vers l’infini. Nous considérons les trois cas suivants : (1). 0 est seulement une valeur propre, mais pas une résonance de H1 en dimension trois ; (2). 0 est seulement une résonance, mais pas une valeur propre de H1 en dimension quatre ; (3). 0 n’est pas seulement une résonance mais aussi une valeur propre de H1 en dimension quatre.