Simulation numérique de modèles d'écoulement type "depth averaged" : une classe de schémas Volumes Finis et Galerkin discontinu

Numerical simulation of depth-averaged flows models : a class of Finite Volume and discontinuous Galerkin approaches

• Auteur / Autrice : Arnaud Duran
• Direction : Pascal Azerad, Fabien Marche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 17/10/2014
• Etablissement(s) : Montpellier 2
• Ecole(s) doctorale(s) : Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; École Doctorale ; 2009-2014)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Azerad, Fabien Marche, Jean-Luc Guermond, Nicolas Seguin, Christophe Berthon, Jean-Paul Vila, Daniele Antonio Di Pietro
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Luc Guermond, Nicolas Seguin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Euler, Équations d'

Galerkine, Méthodes de

Volumes finis, Méthodes de

Mots clés libres

Shallow-Water

Ecoulement à surface libre

Maillage non-Structuré

Volumes Finis

Termes source

Galerkin Discontinu

Shallow-Water

Free surface flows

Unstructured mesh

Finite Volumes

Source terms

Discontinuous Galerkin

Résumé

Ce travail est consacré au développement de schémas numériques pour approcher les solutions de modèles d'écoulement type “depth averaged”. Dans un premier temps, nous détaillons la construction d'approches Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d'eau, et suggérons des extensions MUSCL adaptées. La méthode est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. L'inclusion des termes de friction fait l'objet d'une analyse poussée, aboutissant à l'établissement d'une propriété type “Asymptotic Preserving” à travers l'amélioration d'un autre récent schéma Volumes Finis. La seconde composante de cette étude concerne les méthodes Elements Finis type Galerkin discontinu. Certaines des idées avancées dans le contexte Volumes Finis sont employées pour aborder le système Shallow Water surmaillages triangulaires. Des résultats numériques sont exposés et la méthode se révèle bien adaptée à la description d'une large variété d'écoulements. Partant de ces observations nous proposons finalement d'exploiter ces caractéristiques pour étendre l'approche à une nouvelle famille d'équations type Green-Nadghi. Des validations numériques sont également proposées pour valider le modèle numérique.

This work is devoted to the development of numerical schemes to approximatesolutions of depth averaged flow models. We first detail the construction of Finite Volume approaches for the Shallow Water system with source terms on unstructured meshes. Based on a suitable reformulation of the equations, we implement a well-balanced and positive preserving approach, and suggest adapted MUSCL extensions. The method is shown to handle irregular topography variations and demonstrates strong stabilities properties. The inclusion of friction terms is subject to a thorough analysis, leading to the establishment of some Asymptotic Preserving property through the enhancement of another recent Finite Volume scheme.The second aspect of this study concerns discontinuous Galerkin Finite Elementmethods. Some of the ideas advanced in the Finite Volume context areemployed to broach the Shallow Water system on triangular meshes. Numericalresults are exposed and the method turns out to be well suited to describe a large variety of flows. On these observations we finally propose to exploit its features to extend the approach to a new family of Green-Nadghi equations. Numerical experiments are also proposed to validate this numerical model.