Tail distribution of the sums of regularly varying random variables, computations and simulations

par Quang Huy Nguyen

Thèse de doctorat en Sciences de gestion

Sous la direction de Christian Yann Robert.

Soutenue le 03-11-2014

à Lyon 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences économiques et gestion (Lyon) , en partenariat avec Laboratoire de Sciences Actuarielle et Financière (laboratoire) .

Le président du jury était Frédéric Planchet.

Le jury était composé de Christian Yann Robert, Olivier Lopez, Didier Rulliere.

Les rapporteurs étaient Étienne Marceau, Enkelejd Hashorva.

  • Titre traduit

    Queue de distribution de somme de variables aléatoires a variations régulières, calculs et simulations


  • Résumé

    Cette thèse s'intéresse à l'utilisation de techniques numériques par approximation sous forme de séries et de techniques de simulation pour l'approximation de la queue de distribution de sommes de variables aléatoires à variations régulières. Le calcul de la probabilité que la somme soit plus grande qu'un seuil donné est important en gestion des risques. En particulier, ce calcul est utilisé pour définir le besoin en capital des sociétés d'assurances ou d'autres institutions financières. Le premier chapitre constitue l'introduction de la thèse. Il explique les principaux résultats et présente les outils mathématiques qui sont développés dans la thèse. Le second chapitre est basé sur le travail : ”Series expansions for the sum of the independent Pareto random variables”, article rédigé avec le Professeur Christian ROBERT, directeur de la thèse. Cet article est soumis à publication. Il propose un algorithme de calcul pour déterminer la queue de distribution d'une somme de variables aléatoires de type Pareto non nécessairement équidistribuées. Il propose une approximation sous forme de série de la fonction de survie de la somme. L'algorithme utilisé pour calculer l'approximation est simple, facile à implémenter, et offre de très bons résultats numériques. Le troisième chapitre de cette thèse est basée sur l'article : ”New efficient estimators in rare event simulation with heavy tails”, publié dans Journal of Computational and Applied Mathematics, et co-écrit avec le Professeur Christian ROBERT. Il s'intéresse à l'approximation par simulation de la probabilité que la somme de variables aléatoires indépendantes à variations régulières soit plus grande qu'un seuil élevé. Des estimateurs efficaces ont déjà été introduits dans la littérature associée à la simulation d'évènements rares. Nous proposons de nouvelles techniques de simulation qui sont plus efficaces que les méthodes précédemment proposées. Le quatrième chapitre poursuit l'analyse de la simulation d'évènements rares du type ”la somme est plus grande qu'un seuil”, mais cette fois-ci il s'intéresse à des situations où les variables aléatoires sont dépendantes. Il se focalise sur le cas où la dépendance est donnée par une copule archimédienne. Ce chapitre est basé sur l'article en relecture : ”Efficient simulation of tail probabilities of sums with heavy tailed random variables and Archimedean copulas”. Les équivalents asymptotiques de la probabilité de dépassement de seuil ne sont connus que dans des cas particuliers et ils fournissent en général des approximations très médiocres de la vraie valeur. Les techniques de simulation sont donc très appréciables pour obtenir rapidement des approximations précises. Nous proposons quatre estimateurs et quatre techniques de simulation associées. Nous montrons que les erreurs relatives sont asymptotiquement bornées pour presque tous les estimateurs. Les simulations montrent que certains estimateurs sont plus précis


  • Résumé

    This thesis aims to study computation and simulation methods to approximate tail distribution of the sums of regularly varying random variables. The paper proceeds as follows: The first chapter provides the general introduction of the thesis. The second chapter is essentially constituted by the article ”Series expansions for the sum of the independent Pareto random variables” which was co-written with Professor Christian ROBERT, actually submitted for publication. It deals with the problem of estimating tail distribution of the sum of independent Pareto variables. This problem has been studied for a long time but a complete solution has not yet been found. In this section, we acquire an exact formula, a series expansions, for the distribution of the sum of independent Pareto of non-integer tail indices. Not only is this formula simple and easy to apply but it also gives better numerical results than most of existing methods.The third chapter rests on the article ”New efficient estimators in rare event simulation with heavy tails”, co-written with Professor Christian ROBERT, currently published on ”Journal of Computational and Applied Mathematics 261, 39-47” in 2013. Practically, efficient estimation for tail distribution of the sum of i.i.d. regularly varying random variables is one of widely researched problems in rare event simulation. In this context, Asmussen and Kroese’s estimator has performed better than other works. This part will introduce a new way to approach the sum. Our obtained estimator is more efficient than Asmussen and Kroese’s estimator in the case of regularly varying tail. In other cases, combined with techniques of conditional Monte Carlo and importance sampling, our estimator is still better. In the fourth chapter, we continue to study the tail behavior of the sum of regularly varying variables, with additional assumption that the dependence follows an Archimedean copula or an Archimedean survival copula. This section hinges on the article ”Efficient simulation of tail probabilities of sums with heavy tailed random variables and Archimedean copulas” which is under consideration for being published. Almost all previous studies on this problem used asymptotic approaches which are hard to control the errors. Therefore, techniques of simulation to calculate the tail probability of the sum are presented. Though some of our estimators have bounded relative errors while the others do not, all of them give favorable numerical performances for such a challenging problem

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