Contributions à la théorie des espaces de fonctions : singularités et relèvements

Contributions to the theory of functional spaces : singularities and liftings

• Auteur / Autrice : Ioana Molnar
• Direction : Petru Mironescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/06/2014
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Russ
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Petru Mironescu, G. Dinca, Johannes Kellendonk
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean Van Schaftingen, Radu Ignat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Jacobiens

Espaces fonctionnels

Relèvement (mathématiques)

Mots clés libres

Applications unimodulaires

Estimations optimales

Relèvement

Jacobien distributionnel

Construction dipôle

Courant rectifiable

Dipole construction

Rectifiable currents

Optimal estimates

Unimodular maps

Lifting

Distributional jacobian

Résumé

Dans cette thèse nous étudions quelques aspects des certains espaces de fonctions. D’une part nous nous intéressons aux singularités des applications W^{1,n} à valeurs dans la sphère unité S^n, et d’autre part, aux relèvements des applications W^{s,p} à valeurs dans le cercle S^1.La première partie concerne le problème de minimisation d’une énergie de type Dirichlet à poids. Les fonctions admissibles sont les fonctions continues hors d’un ensemble singulier donné prescrit par le bord d’un courant rectifiable. Nous obtenons la formule exacte, résultat qui améliore celui d’Alberto, Baldi et Orlando (2003). Il s’agit aussi d’une généralisation des résultats obtenus précédemment par Brezis, Coron, Lieb (1986), Almgren, Browder, Lieb (1988).La deuxième partie porte sur le meilleur contrôle des phases des applications uni-modulaires et elle se repose sur les travaux de Bourgain, Brezis, Mironescu (2000, 2002). A l’aide de quelques méthodes connues et des méthodes nouvelles, nous étudions des estimations optimales des semi-normes W^{s,p} des relèvements selon les différentes valeurs de s et de p. Nous obtenons aussi une nouvelle caractérisation de W^{s,p} pour s<1 en termes de semi-norme dyadique

In this thesis we study some aspects of certain functional spaces. On the one hand we focus on the singularities of maps W^{1, n} with values in the unit sphere S^n, and secondly, on liftings of maps W^{s, p} with values in the circle S^1.The first part concerns the minimization problem of a weighted Dirichlet energy. Admissible maps are functions which are continuous functions outside a given singular set prescribed by the boundary of a rectifiable current. We obtain the exact formula, which improves the result of Alberto, Baldi and Orlando (2003). In the same time, we generalize some results previously obtained by Brezis, Coron, Lieb (1986), Almgren, Browder, Lieb (1988).The second part focuses on the best control of unimodular maps and it is based on the work of Bourgain, Brezis, Mironescu (2000, 2002). Using some known methods and some new ones, we study optimal estimates of seminorms W^{s, p} of liftings, for different values of s and p. We also obtain a new characterization of the space W^{s, p} for s<1 in terms of dyadic seminorm