Équations de Hardy-Sobolev sur les variétés Riemanniennes compactes : influence de la géométrie

Hardy-Sobolev equations on the compact Riemannian manifolds : Influence of geometry

• Auteur / Autrice : Hassan Jaber
• Direction : Frédéric Robert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/06/2014
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Hebey
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florica Cirstea, Dong Ye, Louis Jeanjean
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ali Fardoun, Alberto Farina

Mots clés

Mots clés contrôlés

Green, Fonctions de

Courbure

Équations -- Solutions numériques

Sobolev, Inégalités de

Riemann, Variétés de

Mots clés libres

Variété Riemannienne compacte

Équation de Hardy-Sobolev

Inégalité de Hardy-Sobolev

Meilleure constante

Courbure scalaire

Masse de la fonction de Green

Compact Riemannian manifold

Hardy-Sobolev Equation

Hardy-Sobolev Inequality

Sharp constant

Scalar curvature

Mass of the Green function

Résumé

Dans ce Manuscrit, nous étudions l'influence de la géométrie sur les équations de Hardy-Sobolev perturbées ou non sur toute variété Riemannienne compacte sans bord de dimension supérieure ou égale à 3. Plus précisément, dans le cas non perturbé nous démontrons que pour toute dimension de la variété strictement supérieure à, l'existence d'une solution (ou plutôt une condition suffisante d'existence) dépendra de la géométrie locale autour de la singularité. En revanche, dans le cas où la dimension est égale à 3, c'est la géométrie globale (particulièrement, la masse de la fonction de Green) de la variété qui comptera. Dans le cas d'une équation à terme perturbatif sous-critique, nous démontrons que l'existence d'une solution dépendra uniquement de la perturbation pour les grandes dimensions et qu'une interaction entre la géométrie globale de la variété et la perturbation apparaîtra en dimension 3. Enfin, nous établissons une inégalité optimale de Hardy-Sobolev Riemannienne, la variété étant avec ou sans bord, où nous démontrons que la première meilleure constante est celle des inégalités Euclidiennes et est atteinte

In this Manuscript, we investigate the influence of geometry on the Hardy-Sobolev equations on the compact Riemannian manifolds without boundary of dimension greateror equal to 3. More precisely, we prove in the non perturbative case that the existence of solutions depends only on the local geometry around the singularity when the dimension is greater or equal to 4 while it is the global geometry of the manifold when the dimension is equal to 3 that matters. In the presence of a perturbative subcritical term, we prove that the existence of solutions depends only on the perturbation when the dimension is greater or equal to 4 while an interaction between the perturbation and the global geometry appears in dimension 3. Finally, we establish an Optimal Hardy-Sobolev inequality for all compact Riemannian manifolds, with or without boundary, where we prove that the Riemannian sharp constant is the one for the Euclidean inequality and is achieved