Inférence géométrique discrète

par Louis Cuel

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Jacques-Olivier Lachaud et de Boris Thibert.

Le président du jury était Simon Masnou.

Les rapporteurs étaient Pierre Alliez, Rémy Malgouyres.


  • Résumé

    Ces travaux s'inscrivent dans la thématique de l'inférence géométrique dont le but est de répondre au problème suivant : étant donné un objet géométrique dont on ne connaît qu'une approximation, peut-on estimer de manière robuste ses propriétés? On se place dans cette thèse dans le cas où l'approximation est un nuage de points ou un ensemble digital dans un espace euclidien de dimension finie. On montre tout d'abord un résultat de stabilité d'un estimateur de normale basé sur l'analyse en composante principale, ainsi qu'un résultat de convergence multigrille d'un estimateur du Voronoi Covariance Measure qui utilise des matrices de covariance de cellules de Voronoi. Ces deux résultats, comme la plupart des résultats en inférence géométrique, utilisent la stabilité de la fonction distance à un compact. Cependant, la présence d'un seul point aberrant suffit pour que les hypothèses des résultats de stabilité ne soient pas satisfaites. La distance à une mesure est une fonction distance généralisée introduite récemment qui est robuste aux points aberrants. Dans ce travail, on généralise le Voronoi Covariance Measure à des fonctions distances généralisées et on montre que cet estimateur appliqué à la distance à une mesure est robuste aux points aberrants. On en déduit en particulier un estimateur de normale très robuste. On présente également des résultats expérimentaux qui montrent une forte robustesse des estimations de normales, courbures, directions de courbure et arêtes vives. Ces résultats sont comparés favorablement à l'état de l'art.

  • Titre traduit

    discrete geometric inference


  • Résumé

    The purpose of geometric inference is to answer the following problem : Given a geometric object that is only known through an approximation, can we get a robust estimation of its properties? We consider in this thesis the case where the approximation is a point cloud or a digital set in a finite dimensional Euclidean space. We first show a stability result for a normal estimator based on the principal component analysis, as well as a result of multigrid convergence of an estimator of the Voronoi covariance measure, which uses covariance matrices of Voronoi cells. As most of geometric inference results, these two last results use the robustness of the distance function to a compact set. However, the presence of a single outlier is sufficient to make the assumptions of these results not satisfied. The distance to a measure is a generalized distance function introduced recently, that is robust to outliers. In this work, we generalize the Voronoi Covariance Measure to generalized distance functions and we show that this estimator applied to the distance to a measure is robust to outliers. We deduce a very robust normal estimator. We present experiments showing the robustness of our approach for normals, curvatures, curvature directions and sharp features estimation. These results are favorably compared to the state of the art.


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