Eléments d'analyse et de contrôle dans le problème de Hele-Shaw

Elements of analysis and control in the Hele-Shaw problem

• Auteur / Autrice : Vincent Runge
• Direction : Jean-Pierre Lohéac, Alexandre Demidov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 25/09/2014
• Etablissement(s) : Ecully, Ecole centrale de Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan
• Jury : Président / Présidente : Mahdi Boukrouche
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sébastien Martin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Joachim Escher, Alexander Vasiliev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cauchy, Problème de

Mécanique des fluides

Mots clés libres

Hele-Shaw

Approximation de Stokes-Leibenson

Helmholtz-Kirchhoff

Solutions trinomiales réelles

Domaine d’univalence

Contrôlabilité

Contrôle optimal

Hele–Shaw

Stokes–Leibenson approximation

Helmholtz–Kirchhoff, real trinomial solutions

Domain of univalence

Controllability

Optimal control

Helmholtz–Kirchhoff

Résumé

Cette thèse porte sur le traitement mathématique du problème de Hele-Shaw dans l’approximation de Stokes-Leibenson. À l’aide d’une transformation de type Helmholtz- Kirchhoff, nous explicitons une équation d’évolution du contour fluide valable pour tout type d’écoulement plan. Cette équation généralise des résultats précédents et permet alors d’établir un schéma numérique performant dit du quasi-contour, qui se réduit à un problème de Cauchy. Nous considérons ensuite l’étude du problème par transformations conformes menant à l’équation de Polubarinova-Galin. Dans le cas simple d’un contour représenté par un trinôme à coefficients réels, nous réussissons à expliciter la solution exacte du problème. Notons que les trajectoires des solutions exactes permettent de préciser la position de la frontière des domaines d’univalence décrits par les trinômes. Enfin, nous introduisons des paramètres de contrôle sous forme de coefficients d’un multipôle superposé à la source. Des conditions suffisantes de contrôlabilité sont établies et des résultats de contrôle optimal sont explicités pour les solutions binomiales et trinomiales. L’introduction de paramètres de contrôle permet de comprendre le lien qui relie les moments de Richardson à l’équation de Polubarinova-Galin.

This PhD thesis deals with the mathematical treatment of the Hele–Shaw problem in the Stokes–Leibenson approximation. By an Helmholtz–Kirchhoff transformation, we exhibited an evolutive equation of the fluid contour applicable to all type of planar fows. This equation generalizes previous results and also allows to state an efficient numerical scheme called quasi-contour’s, which is a simple Cauchy problem. We then consider the study of this problem using conformal transformations leading to the Polubarinova-Galin equation. In the simple case of a contour representing by a trinomial with real coefficients, we succeeded in exhibiting the exact solution of the problem. Notice that the trajectories of the exact solutions enable to precise the position of frontiers of univalent domains described by trinomials. Finally, we introduce control parameters under the form of coefficients of a multipole superposed to the source. Sufficient conditions of controllability are stated and results on optimal control established for the binomial and trinomial cases. Introduction of control parameters allows us to understand the link, which bound Richardson’s moments to the Polubarinova-Galin equation.