Étude de problèmes différentiels elliptiques et paraboliques sur un graphe

A qtudy of elliptic and parabolic differential problems on graphs

• Auteur / Autrice : Baptiste Vasseur
• Direction : Joachim Von Below
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/02/2014
• Etablissement(s) : Littoral
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville / LMPA
• Jury : Président / Présidente : Felix Ali Mehmeti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Joachim Von Below, Mabel Cuesta, Jens Bolte, José Antonio Lubary
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : B. Malcolm Brown, Wolfgang Reichel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes aux valeurs propres

Fonctions harmoniques

Opérateurs elliptiques

Mots clés libres

Opérateur élliptique

Problème aux valeurs propres

Fonctions harmoniques

Multiplicité des valeurs propres

Condition de Kirchhoff

Laplacien sur un graphe

Asymptotique des valeurs propres

Solution stationnaire

Elliptic operators

Eigenvalue problem

Harmonic functions

Eigenvalue multiplicity

Kirchhoff condition

Graph Laplacian

Asymptotic behavior of eigenvalues

Stationary solutions

Résumé

Après une présentation des notations usuelles de la théorie des graphes, on étudie l'ensemble des fonctions harmoniques sur les graphes, c'est à dire des fonctions dont le laplacien est nul. Ces fonctions forment un espace vectoriel et sur un graphe uniformément localement fini, on montre que cet espace vectoriel est soit de dimension un, soit de dimension infinie. Lorsque le graphe comporte une infinité de cycles, ce résultat tombe en défaut et on exhibe des exemples qui montrent qu'il existe un graphe sur lequel les harmoniques forment un espace vectoriel de dimension n, pour tout n. Un exemple de graphe périodique est également traité. Ensuite, toujours pour le laplacien, on étudie plus précisément sur les arbres uniformément localement finis les valeurs propres dont l'espace propre est de dimension infini. Dans ce cas, il est montré que l'espace propre contient un sous-espace isomorphe à l'ensemble des suites réelles bornées. Une inégalité concernant le spectre est donnée dans le cas spécial où les arêtes sont de longueur un. Des exemples montrent que ces inclusions sont optimales. Dans le chapitre suivant, on étudie le comportement asymptotique des valeurs propres pour des opérateurs elliptiques d'ordre 2 quelconques sous des conditions de Kirchhoff dynamiques. Après réécriture du problème sous la forme d'un opérateur de Sturm-Liouville, on écrit le problème de façon matricielle. Puis on trouve une équation caractéristique dont les zéros correspondent aux valeurs propres. On en déduit une formule pour l'asymptotique des valeurs propres. Dans le dernier chapitre, on étudie la stabilité de solutions stationnaires pour certains problèmes de réaction-diffusion où le terme de non linéarité est polynomial.

After a quick presentation of usual notations for the graph theory, we study the set of harmonic functions on graphs, that is, the functions whose laplacian is zero. These functions form a vectorial space. On a uniformly locally finite tree, we shaw that this space has dimension one or infinity. When the graph has an infinite number of cycles, this result change and we describe some examples showing that there exists a graph on which the harmonic functions form a vectorial space of dimension n, for all n. We also treat the case of a particular periodic graph. Then, we study more precisely the eigenvalues of infinite dimension. In this case, the eigenspace contains a subspace isomorphic to the set of bounded sequences. An inequality concerning the spectral is given when edges length is equal to one. Examples show that these inclusions are optimal. We also study the asymptotic behavior of eigenvalues for elliptic operators under dynamical Kirchhoff node conditions. We write the problem as a Sturm-Liouville operator and we transform it in a matrix problem. Then we find a characteristic equation whose zeroes correspond to eigenvalues. We deduce a formula for the asymptotic behavior. In the last chapter, we study the stability of stationary solutions for some reaction-diffusion problem whose the non-linear term is polynomial.