Solutions de chaînes de spin XXZ et XYZ avec bords par la séparation des variables

Solution of XXZ and XYZ spin chains with boundaries by separation of variables

• Auteur / Autrice : Simone Faldella
• Direction : Nikolai Kitanine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2014
• Etablissement(s) : Dijon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Vladimir Roubtsov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Babelon, Giuliano Niccoli
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean Avan, Anastasia Doikou

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bethe, Ansatz de

Séparation des variables

Spin

Mots clés libres

XXZ

XYZ

Spin

XXZ

XYZ

Spin

Chains

Open

Boundary

Bethe

Ansatz

Sklyanin

Separation of variables

Résumé

Dans cette thèse nous donnons une solution des chaînes quantiques de spin-1/2 XXZ et XYZ ouvertes avec les termes de bord intégrables les plus généraux. En utilisant la méthode de la Séparation des Variable (SoV), à la Sklyanin, on est capable, dans le cas inhomogène, de construire l’ensemble complet des états propres et des valeurs propres associés. La caractérisation de ces quantités est faite par un système maximal de N équations quadratiques, où N est la taille du système. Des méthodes différentes, comme l’ansatz de Bethe algébrique (ABA) ou autres généralisations de l’ansatz de Bethe, ont été utilisés dans le passé pour résoudre ces problèmes. Aucune méthode a pu effectivement reproduire l’ensemble complet des états propres et valeur propres dans le cas de conditions au bord les plus génériques. Une expression, sous forme d’un déterminant à la Vandermonde, pour les produits scalaires entre les états en représentation de SoV est aussi obtenue. La formule pour les produits scalaires représente la première étape pour approcher le problème relié au calcul des facteurs de forme et fonctions de corrélations.

In this thesis we give accounts on the solution of the open XXZ and XYZ quantum spin-1/2 chains with the most generic integrable boundary terms. By using the the Separation of Variables method (SoV), due to Sklyanin, we are able, in the inhomogeneous case, to build the complete set of eigenstates and the associated eigenvalues. The characterization of these quantities is made through a maximal system of N quadratic equations, where N is the size of the chain. Different methods, like the Algebraic Bethe ansatz (ABA) or other generalized Bethe ansatz techniques, have been used, in the past, in order to tackle these problems. None of them resulted effective in the reproduction of the full set of eigenstates and eigenvalues in the case of most general boundary conditions. A Vandermonde determinant formula for the scalar products of SoV states is obtained as well. The scalar product formula represents a first step towards the calculation of form factors and correlation functions.