Recherche Avancée

Thèse soutenue

Des fonctions résurgentes à la resommation réelle en passant par les algèbres de Hopf combinatoires

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Auteur / Autrice : Emmanuel Vieillard-Baron
Direction : Jean-Philippe Rolin
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 31/03/2014
Etablissement(s) : Dijon
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
Jury : Président / Présidente : Jean-Yves Thibon
Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Fauvet, Olivier Le Gal, Peter Schauenburg
Rapporteurs / Rapporteuses : Daniel Panazzolo

Résumé

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Le problème de la resommation réelle consiste à associer à une série divergente réelle unefonction analytique qui lui est asymptotique sur un secteur du plan complexe bissecté par unedes deux demi-directions réelles. Jean Ecalle a esquissé, pour le résoudre, les grandes lignesd’une théorie dite des bonnes moyennes uniformisantes. Celle-ci est basée sur plusieurs de sesdécouvertes : le calcul moulien simple et arborifié, les opérateurs étrangers et les fonctionsrésurgentes.Nous nous proposons dans cette thèse de détailler complètement la théorie des moyennesd’Ecalle. Il s’agit de l’appliquer à la resommation de la conjuguante formelle des champsanalytiques réels de type noeud-col et des difféomorphismes analytiques tangents à l’identitédans leur classe formelle la plus simple. Une partie conséquente de la thèse est consacrée àla théorie de l’arborification. C’est l’un des ingrédients majeurs de la théorie des moyennesmais pour laquelle Ecalle n’avait délivré que peu de détails.Un chapitre de la thèse traite de géométrie o-minimale. Il s’agit de démontrer l’existenced’un « isomorphisme formel »entre les familles de germes d’ensembles semi-analytiques issusde deux classes quasi-analytiques isomorphes. Bien que ce chapitre soit disjoint de la théoriedes moyennes, il est probable que cette dernière permette à l’avenir d’obtenir de nouvellesclasses quasi-analytiques.Enfin, nous proposons de faire le lien entre un procédé de resommation réelle de la conjuguanteformelle du noeud-col réel élaboré par R. Schäfke et les moyennes d’Ecalle.