Etude du spectre discret de perturbations d'opérateurs de la physique mathématique

Study of the discrete spectrum of complex perturbations of operators from mathematical physics

• Auteur / Autrice : Clement Dubuisson
• Direction : Stanislav Kupin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 20/11/2014
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement d'accueil : Université Bordeaux-I (1971-2013)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Bouclet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvain Golenia, Andreas Hartmann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Joye, Ari Laptev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Schrödinger, Opérateur de

Opérateurs de Dirac

Opérateurs non auto-adjoints

Mots clés libres

Spectre discret

Inégalités de type Lieb-Thirring

Opérateur de Dirac

Opérateur de Klein-Gordon

Opérateur Schrödinger fractionnaire

Transformations conformes

Discrete spectrum

Lieb-Thirring-type inequalities

Conformal mappings

Dirac operator

Klein-Gordon operator

Fractional Schrödinger operator

Résumé

Le but de cette thèse est d’obtenir des informations sur le spectre discret d’opérateurs non auto-adjoints définis par des perturbations relativement compactes d’opérateurs auto-adjoints. Ces opérateurs auto-adjoints sont choisis parmi les opérateurs classiques de mécanique quantique. Il s’agit des opérateurs de Dirac, de Klein-Gordon et le laplacien fractionnaire qui généralise l’opérateur de Schrödinger habituellement considéré pour de tels problèmes. La principale méthode utilisée ici relève d’un théorème d’analyse complexe donnant une condition de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe du disque unité. Cette condition traduit lecomportement des valeurs propres de l’opérateur perturbé sous forme d’inégalités de type Lieb-Thirring. Une autre méthode venant d’analyse fonctionnelle a été employée pour obtenir de telles inégalités et les deux méthodes sont comparées entre elles.

The topic of this thesis concerns the discrete spectrum of non-selfadjoint operators defined by relatively compact perturbation of selfadjoint operators. These selfadjoint operators are choosen among classical operators of quantum mechanics. These areDirac operator, Klein-Gordon operator, and the fractional Laplacian who generalize the Schrödinger operator. The main method is based on a theorem of complex analysis which gives Blaschke-type condition on the zeros of a holomorphic function on the unit disc. This Blaschke condition gives the information on the behaviour of eigenvalues of the perturbed operator by mean of Lieb-Thirring-type inequalities. Another method using functional analysis is also used to obtain these kind of inequalities and both methods are compared to each other.