Sur la théorie des représentations et les algèbres d'opérateurs des produits en couronnes libres

on the representation theory and the operator algebra of the free wreath products

• Auteur / Autrice : Francois Lemeux
• Direction : Uwe Franz, Roland Vergnioux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 28/05/2014
• Etablissement(s) : Besançon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon
• Jury : Président / Présidente : Christian Le Merdy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Uwe Franz, Roland Vergnioux, Christian Le Merdy, Julien Bichon, Roland Speicher, Georges Skandalis
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Julien Bichon, Zhong-Jin Ruan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres d'opérateurs

Mots clés libres

Groupe quantique cantiques compacts

Catégorie de représentations

Algèbre d'opérateurs

Propriétés d'aproximation

Compact quantum groups

Representation category

Operator algebras

Approximation properties

Résumé

Dans cette thèse, on étudie les propriétés combinatoires, algébriques et analytiques de certains groupes quantiques compacts libres. on prouve au chapitre 2 que les duaux des groupes quantiques de réflexions complexes possèdent, dans la plus part des cas, la propriété d'approximation de Haagerup. au chapitre 3, on décrit les règles de fusion du produit en, couronne libre d'un groupe discret par le groupe quantique des permutations. Pour cela on détermine les espaces d'entrelaceurs entre certaines coreprésentation ''basiques'' de ces produits en couronnes libres en termes de partitions non croisées décorées par les éléments du groupe. On peut alors identifier les coreprésentations irréductibles et décrire les règles de fusion. On propose ensuite plusieurs applications de ce résultat. On démontre premièrement que les C*-algèbres réduites de ces produits en couronnes libres sont sans la plupart des cas simples et à trace unique. Puis on prouve que les algèbres se von Neumann associées sont des facteurs de type II et que ces facteurs sont pleins. On étend finalement le résultat du chapitre 2, aux produits en couronnes libres des groupes finis par le groupe quantique de permutations.

In this thesis, we study the combinatorial and operator algebraic properties of certain free compact quantum groups. We prove in chapter 2 that the duals of the quantum reflexion groups have, in most cases, the Haagerup property. In chapter 3, we describe the fusion rules of the free wreath product of a discrete group by the quantum permutation group. To do this, we describe the interrwinner spaces berween certain “basic” corepresentations of these free wreath products in terms of non-crossing partitions decorated by the elements of the group . This provides a whole new class of compact quantum groups whose fusions rules are explicitly computed. We give several applications of this result.We prove that, in most cases, the reduced C*-algebras associates with these free wreath products are simple with unique trace. We also prove that the associated II 1 factors are full. To conclude, we extend the result of chapter 2 to the free wreath products of finite groups by the quantum permutation group.