Some integrable aspects of noncommutative and quantum Painlevé II equations

• Auteur / Autrice : Irfan Mahmood
• Direction : Vladimir Roubtsov, Vladimir Solomonovič Retakh
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique Mathématique
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Angers

Résumé

Dans cette thèse, nous commençons avec une revue de la dérivation de l'équation de Painlevé II classique et de sa hiérarchie du système de Korteweg-de Vries solitonique et de l'équation de Korteweg de Vries modifiée. De plus, notre revue contient la construction de la hiérarchie hamiltonienne de l'équation PII en utilisant la méthode de déformation isomonodromique avec l'interprétation de l'orbite coadjointe. Nous donnons aussi une brève introduction aux équations de Painlevé quantiques et à leurs systèmes diffèrentiels correspondants. Le but de cette thèse est de proposer les développements modernes dans la thèorie de l'équation de Painlevé II, particulièrement son analogue non-commutatif qui est récemment présenté par V. Retakh et V. Roubtsov et d'évaluer quelques aspects intégrables de cette équation. Nous expliquons une procédure qui nous permet de construire une connexion à des solutions de l'équation de Painlevé II noncommutative avec les équation Toda non commutatives sous un certain ansatz. Cette thèse contient aussi la représentation de courbure nulle pour l'équation de Painlevé II no-N-commutative avec le terme constant nul, ainsi que la dérivation de ses solutions en termes de déterminants de Fredholm. A la fin de la thèse, nous construisons une autre représentation de courbure nulle, la condition de compatibilité des systèmes linéaires dans sa Forme générale qui rapporte la version originale présentée de l'équation de Painlevé II non-commutative avec le terme constant non-nul. Nous obtenons aussi l'équation de Riccati en partant d'un problème apectral linéaire de l'équation de Painlevé II non-commutative. Finalement nous construisons une expression explicite pour ses transformations et ses solutions multi-solitoniques en termes de qUasidéterminants de Gelfand-Retakh en appliquant les transformations de Darboux de la manière récursive. Nous dérivous aussi des solutions de l'équation Painlevé II Riccati non-commutative. Nos résultats sur l'équation PII noncommutative contiennent également la dérivation de s analogues de solutions multi-solitoniques de cette équation en prenant les solution du système de Toda de la forme quasidéterminante de Hankel à n=1 et sa contrepartie négative en tant que solutions initiales pour transformation de Darboux de solutions de Painlevé II non-commutative. En outre, nous construisons les expressions explicites de transformations de Darboux pour φ et ψ qui sont impliqués dans les solutions initiales à l'aide des systèmes linéaires dont la condition de compatibilié impliquées la représentation de courbure nulle des systèmes différentielles non-linéaires assocciés et généralisons leurs transformations de Darboux d'ordre N. Une représentation de cournure nulle pour l'équation de Painlevé II quantique est proposée et une forme de Riccati est dérivée.

In this thesis, we review the derivation of classical Painlevé II equation and its hierarchy derived from the system of Korteweg-de Vries and modified Korteweg-de Vries solitonic equations. Further, this review involves the construction of Hamiltonian hierarchy of PII equation by using the method of isomonodromic deformation with the coadjoint orbit interpretation. In addition, we give a brief introduction to the quantum Painlevé equations with their generating systems each system consists of a set of first order ordinary differential equations. Our focus in this thesis is to study the modern developments in the theory of second Painlevé equatoin, especially its non-commutative analogue that is recently introduced by V. Retakh and V. Roubtsov and to evaluate some integrable aspects of this non-commutative Painlevé II equation. We also review a procedure to build a connection of the solutions to non-commutative Painlevé II equation with noncommutative Toda equations under the certain ansatz. Further, this thesis encloses zero-curvature representations of non-commutative Painlevé II equation with zero constant in the standard introduced non-commutative version of this equation and also the derivation of its solutions in terms of Fredholm determinants. In the end of thesis, we construct another zero-curvature representation, from the compatibility of condition of the linear systems, in general form that yields the original intro duced version of non-commutative of Painlevé II equation with n n zero conatant, we also derive the Riccati equation from the linear system of non-commutative Painlevé II equation. Finally, we construct an explicit expression for its multi-soliton solutions in terms of quasideterminants by applying the Darboux transformations iteratively. We also present the solutions to the non-commutative Painlevé II Riccati equation. Our results on non commutative Painlevé II equation also involve the derivation of multi-soliton solutions of this equation by taking Hankel quasideterminant solutions of Toda equations at n=1 and its negative counterpart, as seed solutions in non-commutative Painlevé II Darboux transformation. Furhter, we derive explicit expressions of Darboux transformations for φ and ψ that generate the seed solutions with the help of linear systems whose compatibility condition yields aero-curvature representation of associated systems of non-linear differential equations and generalize their Darboux transformations to the N-th forms. A zero-curvature representation of quantum Painlevé II equationis presented and also we derive its Riccati form with the help of its linear systems.