Géométrie combinatoire des fractions rationnelles

Combinatorial geometry of rational functions

• Auteur / Autrice : Jérôme Tomasini
• Direction : Lei Tan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 05/12/2014
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : UMR6093 Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques (LAREMA)
• Jury : Président / Présidente : Reinhard Schäfke
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lei Tan, Jean-Michel Granger, Xavier Buff, Frank Loray
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Gilles Schaeffer, Dylan Thurston

Mots clés

Mots clés contrôlés

Champs vectoriels

Systèmes dynamiques

Mots clés libres

Fraction rationnelle

Revêtement ramifié

Carte équilibrée

Problème de Hurwitz

Primitive majeure

Carte planaire

Dynamical systems

Primitive majors

Balanced maps

Hurwitz problem

Branched coverings

Planar maps

Rational functions

Vector fields

Résumé

Le but de cette thèse est d’étudier, à l’aide d’outils combinatoires simples, différentes structures géométriques construites à partir de l’action d’un polynôme ou d’une fraction rationnelle. Nous considérerons d’abord la structure de l'ensemble des solutions séparatrices d’un champ de vecteurs polynomial ou rationnel. Nous allons établir plusieurs modèles combinatoires de ces cartes planaires, ainsi qu’une formule fermée énumérant les différentes structures topologiques dans le cas polynomial. Puis nous parlerons de revêtements ramifiés de la sphère que nous modéliserons, via un objet combinatoire nommée carte équilibrée, à partir d’une idée originale de W.Thurston. Ce modèle nous permettra de démontrer (géométriquement) de nombreuses propriétés de ces objets, et d’offrir une nouvelle approche et de nouvelles perspectives au problème d’Hurwitz, qui reste encore aujourd’hui un problème ouvert. Et enfin nous aborderons le sujet de la dynamique holomorphe via les primitives majeures dont l’utilité est de permettre de paramétrer les systèmes dynamiques engendrés par l’itération de polynômes. Cette approche nous permettra de construire une bijection entre les suites de parking et les arbres de Cayley, ainsi que d’établir une formule fermée liée à l’énumération d’un certain type d’arbres relié à la fois aux primitives majeures et aux revêtements ramifiés polynomiaux.

The main topic of this thesis is to study, thanks to simple combinatorial tools, various geometric structures coming from the action of a complex polynomial or a rational function on the sphere. The first structure concerns separatrix solutions of polynomial or rational vector fields. We will establish several combinatorial models of these planar maps, as well as a closed formula enumerating the different topological structures that arise in the polynomial settings. Then, we will focus on branched coverings of the sphere. We establish a combinatorial coding of these mappings using the concept of balanced maps, following an original idea of W. Thurston. This combinatorics allows us to prove (geometrically) several properties about branched coverings, and gives us a new approach and perspective to address the still open Hurwitz problem. Finally, we discuss a dynamical problem represented by primitive majors. The utility of these objects is to allow us to parameterize dynamical systems generated by the iterations of polynomials. This approach will enable us to construct a bijection between parking functions and Cayley trees, and to establish a closed formula enumerating a certain type of trees related to both primitive majors and polynomial branched coverings.