Bases of Temperley-Lieb algebras

• Auteur / Autrice : Thomas Gobet
• Direction : François Digne
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2014
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens1995-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Digne, Frédéric Chapoton, Christian Kassel, Ivan Marin, Wolfgang Soergel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Chapoton, Matthew John Dyer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Nombres de Catalan

Coxeter, Graphes de

Algèbres associatives

Mots clés libres

Bimodules de Soergel

Résumé

Cette thèse étudie certaines bases des algèbres de Temperley-Lieb. Dans une première partie, on propose une catégorification de ces algèbres, plus précisément de leur base canonique, par des analogues de bimodules de Soergel obtenus en considérant des anneaux de fonctions régulières sur des réunions de droites de Weyl, c'est-à-dire, de droites obtenues comme intersections d'hyperplans de réflexions. Les objets indécomposables de la catégorie correspondent exactement aux éléments de la base dite des diagrammes, et l'information diagrammatique peut être récupérée au moyen de deux variétés associées aux annulateurs à gauche et à droite de bimodules indécomposables. Ceci fournit une catégorification directe de l'algèbre de Temperley-Lieb, sans passer par l'algèbre de Hecke dont elle est quotient, comme c'est le cas habituellement. Dans une seconde partie, on étudie les liens entre la base canonique et les bases de Zinno généralisées, obtenues en comme images des éléments simples des monoïdes de tresses duaux dans l'algèbre de Temperley-Lieb. On montre qu'il existe un changement de base triangulaire supérieur à coefficient inversible sur la diagonale entre ces dernières et la base des diagrammes, pour un ordre étonnant: l'ordre de Bruhat sur les partitions non-croisées (qui indexent les bases de Zinno). On démontre au passage certaines propriétés étonnantes de cet ordre, notamment une structure de treillis isomorphe au treillis des idéaux d'ordre dans le poset des racines positives. On donne également des formules fermées pour certains coefficients des matrices de changement de base

In this thesis, we study some bases of the classical Temperley-Lieb algebras. The first part gives a categorified version of the diagram basis of the Temperley-Lieb algebra by analogues of Soergel bimodules using the geometry of Weyl lines, that is, one dimensional subspaces of the geometric representation of the symmetric group obtained as intersections of reflecting hyperplanes. The indecomposable objects correspond exactly to the elements of the diagram basis and one can recover the diagrammatic information from two varieties obtaines from the left and right annihilator of any indecomposable bimodule. This gives a direct categorification of the Temperley-Liel algebra, without passing through the Hecke algebra of which it is a quotient. The second part focuses on the comparison of the diagram basis with a family of bases introduced by Zinno and coming from braid group theory (more precisely, from the dual braid monoids); there are surprising combinatorial structures arising from this comparison, such as the Bruhat order on noncrossing partitions, which tums out to yield a new unexpected lattice structure on the set of noncrossing partitions, isomorphic to the lattice of order ideais in the root poset Noncrossing partitions tum out to indexed the generalized Zinno bases and this order gives a friangular change of basis (with invertible coefficient on the diagonal) between them and the diagram basis. We also give closed formulas for some of the coefficients of the matrix