Processus de branchement avec interaction

Branching processes with interaction

• Auteur / Autrice : Vi Le
• Direction : Etienne Pardoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/11/2014
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Amaury Lambert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Schapira, Anton Wakolbinger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Zenghu Li, Jean-Stéphane Dhersin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Mouvement brownien

Génétique

Mathématiques

Mots clés libres

Processus de Bienaymé-Galton-Watson

Coalescence

Diffusion de Feller logistique

Temps local

Théorème de Ray-Knight

Processus de branchement

Compétition

Temps d'extinction

Masse totale

Bienaymé-Galton-Watson process

Coalescence

Feller diffusion with logistic growth

Local time

Ray-Knight theorem

Branching process

Competition

Extinction time

Total mass

Résumé

Cette thèse se compose de quatre chapitres:Le chapitre 1 étudie la distribution du temps de coalescence (plus récent ancêtre commun) de deux individus tirés au hasard (uniformly) dans la génération actuelle d'un processus de Bienaymé-Galton-Watson en temps continu.Dans le chapitre 2, nous obtenons une représentation de la diffusion de Feller logistique en termes des temps locaux d'un mouvement brownien réfléchi H avec une dérive qui est affine en le temps local accumulé par H à son niveau actuel.Le chapitre 3 considère la diffusion de Feller avec compétition générale. Nous donnons des conditions précises sur le terme de la concurrence, pour le but de décider si le temps d'extinction (qui est aussi la hauteur du processus) reste borné ou non lorsque la taille initiale de la population tend vers l'infini, et de même pour la masse totale du processus.Dans le chapitre 4, nous généralisons les résultats du chapitre 3 pour le cas du processus de branchement à espace d'état continu avec compétition à trajectoires discontinues.

This thesis consists of four chapters:Chapter 1 investigates the distribution of the coalescence time (most recent common ancestor) for two individuals picked at random (uniformly) in the current generation of a continuous time Bienaymé-Galton-Watson process.In chapter 2 we obtain a Ray-Knight representation of Feller's branching diffusion with logistic growth in terms of the local times of a reflected Brownian motion H with a drift that is affine in the local time accumulated by H at its current level.Chapter 3 considers the Feller's branching diffusion with general competition. We give precise conditions on the competition term, in order to decide whether the extinction time (which is also the height of the process) remains or not bounded as the initial population size tends to infinity, and similarly for the total mass of the process.In chapter 4 we generalize the results of chapter 3 to the case of continuous state branching process with competition which has discontinuous paths.