Stabilisation et approximation de certains systèmes distribués par amortissement dissipatif et de signe indéfini

par Farah Abdallah

Thèse de doctorat en Mathématiques. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Ali Wehbe et de Serge Nicaise.

Soutenue le 27-05-2013

à Valenciennes en cotutelle avec l'Université Libanaise , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes (2006-2021) (laboratoire) et de Communauté d'universités et d'établissements Lille Nord de France (2009-2013) (Pôle de recherche et d'enseignement supérieur (PRES)) .

Le président du jury était Ayman Mourad.

Le jury était composé de Ali Wehbe, Serge Nicaise, Piermarco Cannarsa, Enrique Zuazua, Ibrahim Hassan, Youssef Wael.

Les rapporteurs étaient Piermarco Cannarsa, Enrique Zuazua.

mots clés

• Stabilité
• Semi-discrétisation
• Terme de viscosité
• Gap généralisé
• Amortissementde signe indéterminée
• Comportement asymptotique
• Base de Riesz
• Réseau en forme d'étoile
• Spectroscopie
• Ondes élastiques -- Propagation
• Bruit électromagnétique
• Éléments finis, Méthode des
• Approximation polynomiale
• Riesz, Espaces de

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions l'approximation et la stabilisation de certaines équations d'évolution, en utilisant la théorie des semi-groups et l'analyse spectrale. Cette thèse est divisée en deux parties principales. Dans la première partie, comme dans [3, 4], nous considérons l'approximation des équations d'évolution du deuxième ordre modélisant les vibrations de structures élastiques. Il est bien connu que le système approché par éléments finis ou différences finies n'est pas uniformément exponentiellement ou polynomialement stable par rapport au paramètre de discrétisation, même si le système continu a cette propriété. Dans la première partie, notre objectif est d'amortir les modes parasites à haute fréquence en introduisant des termes de viscosité numérique dans le schéma d'approximation. Avec ces termes de viscosité, nous montrons la décroissance exponentielle ou polynomiale du schéma discret lorsque le problème continu a une telle décroissance et quand le spectre de l'opérateur spatial associé au problème conservatif satisfait la condition du gap généralisée. En utilisant le Théorème de Trotter-Kato, nous montrons la convergence de la solution discrète vers la solution continue. Quelques exemples sont également présentés.

mots clés

• Stability
• Semi-discretization
• Viscosity terms
• Generalized gap condition
• Indefinite sign damping
• Asymptotic behavior
• Riesz basis
• Star-shaped network

Titre traduit

Stabilization and approximation of some distributed systems by either dissipative or inde

Résumé

In this thesis, we study the approximation and stabilization of some evolution equations, using semigroup theory and some spectral analysis. This Ph.D. thesis is divided into two main parts. In the first part, as in [3, 4], we consider the approximation of second order evolution equations modeling the vibrations of elastic structures. It is well known that the approximated system by finite elements or finite differences is not uniformly exponentially or polynomially stable with respect to the discretization parameter, even if the continuous system has this property. Therefore, our goal is to damp the spurious high frequency modes by introducing numerical viscosity terms in the approximation scheme. With these viscosity terms, we show the exponential or polynomial decay of the discrete scheme when the continuous problem has such a decay and when the spectrum of the spatial operator associated with the undamped problem satisfies the generalized gap condition. By using the Trotter-Kato Theorem, we further show the convergence of the discrete solution to the continuous one. Some illustrative examples are also presented.