Stabilisation rapide et observation en plusieurs instants de systèmes oscillants

Rapid stabilization and observation of oscillating systems at different time instants

• Auteur / Autrice : Ambroise Vest
• Direction : Vilmos Komornik
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 27/09/2013
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Bopeng Rao
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ammar Farid Khodja
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Haraux, Assia Benabdallah

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles fonctionnelles -- Oscillations

Fourier, Séries de

Semigroupes d'opérateurs

Analyse harmonique (mathématiques)

Mots clés libres

Equation aux dérivées partielles

Observation

Semi-groupe

Série de Fourier

Stabilisation par feedback

Partial differential equations

Feedback stabilization

Semi-group framework

Harmonic oscillator

Fourier series

Résumé

Ce travail est constitué de deux parties indépendantes traitant chacune d'un problème issu de la théorie du contrôle des équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'un feedback explicite et déjà connu, s'appliquant à des systèmes linéaires, réversibles en temps et éventuellement munis d'un opérateur de contrôle non-borné. On justifie le caractère bien posé du problème en boucle fermée via la théorie des semi-groupes puis on étudie le taux de décroissance des solutions du système régulé. La seconde partie concerne un problème d'observation pour la corde vibrante : on détermine comment choisir des instants d'observation pour que la position de la corde à ces instants permette de retrouver les conditions initiales tout en préservant une certaine régularité. La méthode, qui repose sur des résultats d'approximation diophantienne, est ensuite étendue à d'autres systèmes. En utilisant une méthode de dualité on démontre aussi un résultat de contrôlabilité exacte.

This works contains two independent parts, each one dealing with the control of partial differential equations. In the first part, we study an explicit and already known feedback law that applies to linear, time-reversible systems, with a possibly unbounded control operator. We prove the well-posedness of the closed-loop problem in the semi-group framework and we study the decay rate of the solutions. In the second part, we give conditions on the choice of some time instants, such that the positions of a vibrating string (or beam) at these times enable to recover the initial data. The method relies on Diophantine approximation results. Using a duality method, we give a related exact controllability result.