Propriétés des processus max-stables : théorèmes limites, lois conditionnelles et mélange fort

Property of max-stable processes : limit theorem, regular conditional distributions and strong mining

• Auteur / Autrice : Frédéric Eyi-Minko
• Direction : Clément Dombry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs applications
• Date : Soutenance le 11/10/2013
• Etablissement(s) : Poitiers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et ingénierie pour l'information, mathématiques (Limoges ; 2009-2018)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et applications (Poitiers ; 2000-...)
• Partenaire(s) de recherche : faculte : Université de Poitiers. UFR des sciences fondamentales et appliquées
• Jury : Président / Présidente : Julien Michel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Clément Dombry, Mathieu Ribatet, Hermine Biermé
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Philippe Soulier, Stilian Stoev

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus ponctuels

Markov, Processus de

Processus max-stables

Mots clés libres

Processus max-Stable

Lois conditionnelles

Mélange fort

Propriété de Markov

Processus max-Autorégressif

Max-Stable process

Regular conditional distributions

Strong mixing

Markov property

Max-Autoregressive process

Résumé

Le thème de cette thèse est la théorie spatiale des valeurs extrêmes, et les objets principalement étudiés sont les processus max-stables à trajectoires continues. Nous commençons par déterminer la convergence des maximums de processus stochastiques indépendants, en utilisant la convergence de mesures empiriques vers des processus ponctuels de Poisson. Ensuite, nous déterminons les lois conditionnelles des processus max infiniment divisibles (max-i.d). La représentation des processus max-i.d par des processus ponctuels de Poisson permet l'introduction de notions telles que les fonctions extrémales et le hitting scénario qui permettent d'aboutir au résultat. Les processus max-stables étant des processus max-i.d, nous proposons un algorithme de simulation conditionnelle pour les champs max-stables puis nous l'utilisons pour des applications avec des données de précipitations autour de Zurich et de températures en Suisse. Nous trouvons aussi, une majoration du coefficient de β-mélange entre les restrictions d'un processus max-i.d sur deux sous-ensembles fermés et disjoints d'un espace métrique localement compact. Cette majoration permet d'obtenir de nouveaux critères pour le théorème de la limite central des processus stationnaires mélangeant. Enfin, nous terminons en démontrant qu'un processus stationnaire max-stable vérifiant la propriété de Markov est, quitte à renverser le temps, un processus max-autorégressif d’ordre 1.

The theme of this thesis is spatial extreme value theory and we focus on continuous max-stable processes. We begin with the convergence of the maximum of independent stochastic processes, by using the convergence of empirical measures to Poisson point processes. After that, we determine the regular conditional distributions of max infinitely divisible (max-i.d) processes. The representation of max-i.d. processes by Poisson point processes allows us to introduce the notions of extremal functions and hitting scenario. Our result relies on these new notions. Max-stable processes are max-i.d. processes, so we give an algorithm for conditional sampling and give an application to extreme precipitations around Zurich and extreme temperatures in Switzerland. We also find a upper bound for the β-mixing coefficient between the restrictions of a max-i.d. process on two disjoint closed subsets of a locally compact metric space. This entails a central limit theorem for stationary max-i.d processes. Finally, we prove that the class of stationary maxstable processes with the Markov property is equal, up to time reversal, to the class of stationary max-autoregressive processes of order 1.