Comportement en temps petits des Λ n-coalescents avec l'accent sur les longueurs des branches externes

Small-time behaviour of Λ n-coalescents with an emphasis on the external branch lengths

• Auteur / Autrice : Linglong Yuan
• Direction : Jean-Stéphane Dhersin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 13

Résumé

Le Λ-coalescent est un processus stochastique utilisé pour modéliser l'arbre généalogique d'une population composée d'une infinité d'individus, admettant des collisions multiples de lignages. Motivée par les applications en biologie, cette thèse étudie principalement les longueurs des branches d'une sous-famille de coalescents associée à n individus (les Λ n-coalescents) qui est largement utilisée par les biologistes et les probabilistes. Nous notons que les Λ-coalescents sont caractérisés par des mesures finies Λ définies sur [0, 1]. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cas particulier des Λ n-coalescents avec Λ =Beta(2- α,α), la mesure Beta lorsque 1 < α < 2. Pour simplifier les notations, on les appelle Beta(2- α,α) n-coalescents. Möhle a conjecturé dans une communication à Marseille en 2008 que dans ce cas-là, la longueur d'une branche externe choisie au hasard est de l'ordre de n1-α quand n tend vers ∞. Nous montrons que cette longueur normalisée par nα-1 converge vers une loi limite que nous expliciterons. Nous présentons deux méthodes pour montrer ce résultat. Ma contribution est d'introduire la construction récursive du Λ n-coalescent qui nous permet d'établir l'une des méthodes. Cette construction consiste à ajouter l'individu n au Λ (n -1)-coalescent d'une certaine manière pour constituer un Λ n-coalescent. L'avantage de cette construction est que, d'une part, on peut voir directement comment la branche externe de l'individu n s'attache au coalescent, ce qui facilite le calcul de cette longueur. D'autre part, cette construction donne un processus d'auto-apprentissage des individus en fonction du coalescent construit par les précédents, ce qui offre un autre point de vue qui peut être utile pour d'autres problèmes. L'article (14) basé sur ce travail, en collaboration avec Jean-Stéphane Dhersin, Fabian Freund et Arno Siri-Jégousse, est publié en 2013 dans le revue Stochastic Processes and their Applications. Dans cet article, les résultats sont prouvés pour une classe relativement générale de coalescents qui incluent les Beta(2- α,α)-coalescents avec 1 < α < 2. Dans un deuxième travail, toujours dans le cadre des Beta(2- α,α) n-coalescents avec 1 < α < 2, nous étudions le comportement asymptotique du moment d'ordre 2 de la longueur totale des branches externes en utilisant une méthode récursive. Le comportement est décrit d'une façon explicite. On étudie les moments de la longueur d'une seule branche externe ainsi que la covariance entre deux longueurs de branches externes. L'article correspondant est soumis à Journal of Applied Probability. Il existe une version plus générale (16) de cet article qui s'intéresse à une classe plus large de Λ-coalescents que les Beta(2- α,α) n-coalescents avec 1 < α < 2. Un troisième travail cherche à clôturer le problème de la longueur d'une branche externe en proposant une caractérisation pour beaucoup de Λ n-coalescents. Sous certaines conditions sur la mesure Λ (satisfaites en particulier par le coalescent de Bolthausen-Sznitman et les coalescents avec poussière comme les Beta(2- α,α) n-coalescents avec 0 < α < 1), nous obtenons un facteur de normalisation « universel » et nous proposons une conjecture pour un résultat d'une classe plus générale de mesures Λ incluant les Beta(2- α,α) n-coalescents avec 1 < α < 2. L'outil principal est une nouvelle construction (measure division construction) du Λ n-coalescent. Pour cette construction, on divise d'abord Λ en deux parties Λ₁,Λ ₂Λ telles que Λ = Λ₁ + Λ₂. On part alors d'un Λ₁n-coalescent que l'on modifie selon la mesure Λ₂ pour avoir finalement un Λ n-coalescent. Si la masse totale de Λ₁est petite, alors le Λ n-coalescent est proche du Λ₂coalescent. En ce sens, on peut espérer que même si les coalescents sont perturbés par une autre mesure, certaines propriétés restent encore vraies. Cette méthodologie aboutit à montrer le résultat principal de ce travail qui est dans l'article Y (2013) soumis à Markov Processes and Related Fields. Le dernier travail est une continuation de l'article de (6). Ce dernier étudie le comportement asymptotique en temps petits du processus de fréquence asymptotique ordonnée (Beta(2- α,α) ranked coalescent process) dans le cas où 1 < α < 2. Nous utilisons ce processus de fréquence asymptotique ordonnée et la construction de la boîte de peinture de Kingman pour retrouver les Beta(2- α,α) n-coalescents. Ceci nous permet de déduire la loi limite jointe de plusieurs longueurs de branches externes dans le cas des Beta(2- α,α) n-coalescents avec 1 < α < 2. Certaines quantités comme la taille du clade minimal et la taille du bloc maximal en temps petits ont aussi été étudiées. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Arno Siri-Jégousse. L'article est soumis à ALEA (Latin American Journal of Probability and Mathematical Statistics). La thèse se compose d'une introduction des résultats, suivie des 4 articles parus ou soumis dans leur version originale.