Probabilistic and deterministic models for fracture type phenomena

• Auteur / Autrice : Oana Lupascu
• Direction : Lucian Beznea, Ioan R. Ionescu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 13 en cotutelle avec Institut de Mathématique Simion Stoilow de l'Académie Roumaine

Mots clés

Mots clés contrôlés

Déformations (mécanique)

Méthodes sans maillage (analyse numérique)

Topographie

Viscoplasticité

Bochner, Technique de

Liapounov, Fonctions de

Markov, Processus de

Résumé

Cette thèse présente des modèles probabilistes et déterministes de rupture et des phénomènes de branchement, on étudie : les processus de branchement à valeurs mesures et leur EDP non linéaires, les processus de Markov de la subordination au sens de Bochner sur les espaces Lp, et les EDP non linéaires liées au déclenchement des avalanches. La première partie présente les aspects stochastiques. On utilise plusieurs outils théoriques, analytiques et probabilistes de la théorie du potentiel. D'abord, on construit des processus de branchement (de Markov) sur l'ensemble des configurations finies de l'espace d'état d'un processus standard, contrôlés par un noyau de branchement et un noyau tuant. On établit des connexions avec les équations différentielles partielles liées aux fonctions de transition d'un processus de branchement. Si on part d'un super processus, on obtiendra un processus de branchement ayant l'espace d'état des configurations finies de mesures positives finies sur un espace topologique. L'outil principal pour démontrer la régularité des trajectoires d'un processus de branchement est l'existence des fonctions sur-harmoniques convenables, ayant les niveaux compacts. Ensuite, on démontre que la subordination induite par un semi-groupe de convolution (la subordination au sens de Bochner) d'un C0 -semi-groupe d'opérateurs sous-markoviens sur l'espace Lp est associée à la subordination de processus droit de Markov. En conséquence, on résout le problème des martingales associé au Lp –générateur infinitésimal d'un semi-groupe subordonné. Il s'avère qu'un élargissement de l'espace de base est nécessaire. La principale étape de la preuve est la préservation sous une subordination de la propriété d'un processus de Markov d'être un processus droit borélien. La deuxième partie de la thèse est consacrée à la modélisation du déclenchement d'une avalanche d'un matériau viscoplastique de faible épaisseur (sols, neige ou autre géo-matériaux) sur une surface avec topographie (montagnes, vallées). On introduit un critère simple, déduit d'un problème d'optimisation (analyse de la charge limite), capable de distinguer si une avalanche se produit ou pas. Comme la fonctionnelle de dissipation plastique est non régulière et non coercitive dans les espaces de Sobolev classiques, on utilise l'espace des fonctions à déformation tangentielle bornée, pour prouver l'existence d'un champ de vitesse optimal, associé au déclenchement d'une avalanche. La fracture du matériau pendant la phase de déclenchement est modélisée par une discontinuité de ce champ de vitesse. On propose aussi une stratégie numérique, sans maillage, pour résoudre le problème de charge limite et pour obtenir la fracture de déclenchement. Enfin, l'approche numérique proposée est illustrée par la résolution de certains problèmes modélisant le déclenchement des avalanches.

The thesis presents probabilistic and deterministic models for rupture and branching type phenomena,by studying: measure-valued discrete branching processes and their nonlinear PDEs, the Markov processes of the Bochner subordinations on Lp spaces, and the nonlinear PDEs associated to the flow onset of dense avalanches. The first part presents the stochastic aspects. Several analytic and probabilistic potential theoretical tools are used. First, it is given a construction for the branching Markov processes on the space of finite configurations of the state space of a given standard process (called base process), controlled by a branching kernel and a killing one. There are established connections with the nonlinear partial differential equations associated with the transition functions of the branching processes. When the base process is the Brownian motion, then a nonlinear evolution equation involving the square of the gradient occurs. Starting with a super process as base process, the result is a branching process with state space the finite configurations of positive finite measures on a topological space. A key tool in proving the path regularity of the branching process is the existence of a convenient super-harmonic function having compact level sets. Second, it is shown that the subordination induced by a convolution semi-group (the subordination in the sense of Bochner) of a C0 –semi-group of sub-Markovian operators on an Lp space is actually associated to the subordination of a right (Markov) process. As a consequence, it is solved the martingale problem associate with the Lp -infinitesimal generator of the subordinate semi-group. It turns out that an enlargement of the base space is necessary. A main step in the proof is the preservation under such a subordination of the property of a Markov process to be a Borel right process. The second part of the thesis deals with the modeling of the onset of a shallow avalanche (soils, snow or other geo-materials) over various bottom topologies (mountains, valleys). Starting from a shallow viscoplastic model with topography, a simple criterion able to distinguish if an avalanche occurs or not, is introduced. This criterion is deduced from an optimization problem, called limit load analysis. The plastic dissipation functional involved is non-smooth, and non coercive in the classical Sobolev spaces. The appropriate functional space is the space of bounded tangential deformation functions and the existence of an onset velocity field (collapse flow) is proved. To propose a numerical strategy, a mesh free method is used to reduce the limit load problem to the minimization of a shape dependent functional. The collapse flow velocity field, which is discontinuous, is associated to an optimum sub-domain and to a rigid flow. Finally, the proposed numerical approach is illustrated by solving some safety factor problems associated to avalanche onset.