Sur les périodes des structures de Hodge à multiplication complexe

On the periods of Hodge stuctures with complex multiplication

• Auteur / Autrice : Javier Fresán
• Direction : Jörg Wildeshaus, Christophe Soulé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions gamma

Théorie de Hodge

Multiplication complexe

Mots clés libres

Structure de Hodge

Périodes

Résumé

La formule de Lerch-Chowla-Selberg exprime les périodes d'une courbe elliptique à multiplication complexe comme produit des valeurs spéciales de la fonction gamma. A la fin des années 70, Gross en donna une preuve géométrique : en se plaçant sur une variété de Shimura convenable, le calcul se réduit à celui des périodes d'une courbe de Fermat. Ceci le mena à conjecturer, avec Deligne, que le résultat reste vrai pour toute structure de Hodge géométrique avec multiplication complexe par un corps de nombres abélien. Les variétés projectives et lisses munies d'automorphismes d'ordre fini fournissent une famille d'exemples de ces structures. Par des techniques en géométrie d'Araklov, Maillot et Rössler ont réussi à démontrer en 2004 une version faible de ce cas de la conjecture de Gross-Deligne lorsque l'ordre de l'automorphisme est premier. Dans cette thèse je propose une nouvelle approche basée sur une formule du produit, due à Saito et Terasoma, pour les périodes des fibrés à connexion plats à singularités régulières, dont le système local des sections horizontales est muni d'une structure rationnelle. Cette méthode permet de raffiner le théorème de Maillot-Rössler en deux sens : nous trouvons les périodes et non seulement leurs modules et nous arrivons à traiter le cas où l'ordre n'est pas premier.

The Lerch-Chowla-Selberg formula expresses the periods of elliptic curves with complex multiplication as produscts of special values of the gamma function. At the end of the 70s, Gross gave a geometric proof of this result : working over a suitable Shimura variety, he reduced the problem to a computation of periods of Fermat curves. This led him to conjecture, together with Deligne, that the same result holds for any geometric Hodge structure with complex multiplication by an abelian number field. Smooth projective varieties with finite order automorphisms provide a family of examples of such structures. In 2004, using techniques from Arakelov geometry, Maillot and Rössler managed to prove a Weakened version of this case of the Gross-Deligne conjecture when the order of the automorphism is a prime number. In this thesis I propose a new approach to the conjecture, based on a product formula for the periods of a flat connection whose local system of horizontal sections is equipped with a rational structure. This method allows to refine the theorem of Maillot-Rössler in two ways : we compute the periods rather than their absolute values and the assumption on the order of the automorphism is no longer necessary.