Probabilistic cellular automata and specific measures on symbolic spaces

Automates cellulaires probabilistes et mesures spécifiques sur des espaces symboliques

• Auteur / Autrice : Irène Marcovici
• Direction : Jean Mairesse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dynamique symbolique

Entropie

Marches aléatoires (mathématiques)

Théorie ergodique

Mesures invariantes

Markov, Processus de

Mots clés libres

Automates cellulaires probabilistes

Sous-décalages de type fini

Résumé

Un automate cellulaire probabiliste (ACP) est une chaîne de Markov sur un espace symbolique. Le temps est discret, les cellules évoluent de manière synchrone, et le nouvel état de chaque cellule est choisi de manière aléatoire, indépendamment des autres cellules, selon une distribution déterminée par les états d'un nombre fini de cellules situées dans le voisinage. Les ACP sont utilisés en informatique comme modèle de calcul, ainsi qu'en biologie et en physique. Ils interviennent aussi dans différents contextes en probabilités et en combinatoire. Un ACP est ergodique s'il a une unique mesure invariante qui est attractive. Nous prouvons que pour les AC déterministes, l'ergodicité est équivalente à la nilpotence, ce qui fournit une nouvelle preuve de l'indécidabilité de l'ergodicité pour les ACP. Alors que la mesure invariante d'un AC ergodique est triviale, la mesure invariante d'un ACP ergodique peut être très complexe. Nous proposons un algorithme pour échantillonner parfaitement cette mesure. Nous nous intéressons à des familles spécifiques d'ACP, ayant des mesures de Bernoulli ou des markoviennes invariantes, et étudions les propriétés de leurs diagrammes espace-temps. Nous résolvons le problème de classification de la densité sur les grilles de dimension supérieure ou égale à 2 et sur les arbres. Enfin, nous nous intéressons à d'autres types de problèmes. Nous donnons une caractérisation combinatoire des mesures limites pour des marches aléatoires sur des produits libres de groupes. Nous étudions les mesures d'entropie maximale de sous-décalages de type fini sur les réseaux et sur les arbres. Les ACP interviennent à nouveau dans ce dernier travail.

A probabilistic cellular automaton (PCA) is a Markov chain on a symbolic space. Time is discrete, cells evolve synchronously, and the new content of each cell is randomly chosen, independently of the others, according to a distribution given by the states in a finite neighbourhood of the cell. PCA are used as computational models in computer science, and also as a modelling tool in the life sciences and in physics. Moreover, they appear in different contexts in probability theory and in combinatorics. A PCA is ergodic if it has a unique and attractive invariant measure. We prove that for deterministic CA, ergodicity is equivalent to nilpotency. This provides a new proof that the ergodicity of a PCA is undecidable. While the invariant measure of an ergodic CA is trivial, the invariant measure of an We focus on specific families of PCA, having Bernoulli or Markov invariant measures, and we study the properties of their space-time diagrams. We solve the density classification problem on infinite lanices of dimension greater than or equal to 2 and on trees. Finally, we study different problems. We give a combinatorial characterisation of limit measures for random walks on free products of groups. We study measures of maximal entropy of subshift of finite type. PCA play again a role in