Phénomènes de Stokes et approche galoisienne des problèmes de confluence

• Auteur / Autrice : Thomas Dreyfus
• Direction : Lucia Di Vizio
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transformation de Laplace

Stokes, Théorème de

Algorithmes

Équations aux différences

Galois, Théorie inverse de

Galois, Théorie de

Résumé

Cette thèse porte sur la théorie de Galois différentielle. Elle est divisée en deux parties. La première concerne la théorie de Galois différentielle paramétrée, et la seconde, les équations aux q-différences. Dans le chapitre 2, nous exposons une généralisation de l algorithme de Kovacic qui permet de calculer le groupe de Galois paramétré de certaines équations différentielles paramétrées d'ordre 2. Dans le chapitre 3, nous présentons une généralisation du théorème de densité de Ramis qui donne un ensemble de générateurs topologiques du groupe de Galois pour les équations différentielles linéaires paramétrées à coefficients dans un anneau convenable. Nous obtenons une contribution au problème inverse dans cette théorie de Galois, donnons un critère d'isomonodromie, et répondons partiellement à une question posée par Sibuya. Dans le chapitre 4, il est question de confluence et d'équations aux q-différences. Nous prouvons comment la transformée de Borel-Laplace d'une série formelle divergente solution d'une équation différentielle linéaire à coefficients dans C(z) peut être uniformément approchée par un q-analogue de la transformée de Borel-Laplace appliqué à une série formelle solution d'une famille d'équations aux q-différences linéaires qui discrétise l'équation différentielle. Nous faisons directement les calculs dans le cas des séries hypergéométriques basiques, et nous prouvons sou des hypothèses raisonnables, qu'une matrice fondamentale d'une équation différentielle linéaire à coefficients dans C(z) peut être uniformément approchée par une matrice fondamentale d'une famille d'équations aux q-différences linéaires correspondante.

This thesis deal with the differential Galois theory and more particularly the Borel-Laplace summation of the divergent power series. There are two parts. The first one (Chapters 2 and 3), is about parameterized differential Galois theory while the second one (Chapter 4), involves - difference equations In Chapter 2, we present a generalization of Kovacic's algorithm that allow us to compute the parameterized Galois group of some parameterized differential equations of order two. In Chapter 3, we prove a generalization of the density theorem of Ramis that gives a set of topological generator for the Galois group of parameterized differential equations having coefficients on a convenient ring. We obtain a contribution to the inverse problem in this Galois theory, give a criterion of isomonodromy, and provide a partial answer to a question of Sibuya. Chapter 4 deal with confluence and q-difference equations. We show how the Borel-Laplace transformation of a divergent formai power series solution of a linear differential equation in coefficients in C(z) could be uniformly approximated by a q-analogue of the Borel-Laplace summation applied to a formai power series solution of a family of linear q-difference equations that discretize the differential equation. We make explicitly the computations for the basic hypergeometric series and prove under convenient assumptions, that a fundamental solution of a linear differential equation may be uniformly approximated by a fundamental solution of a corresponding family of linear q-difference equations.