On categorification of quantum sln invariants : algebraic and diagrammatic study

• Auteur / Autrice : Hoel Queffelec
• Direction : Christian Blanchet, Catharina Stroppel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes quantiques

Euler-Poincaré, Caractéristique d'

Théorie des noeuds

Homologie

Résumé

En 2000, Khovanov ouvre la voie au programme de catégorification en théorie des nœuds, définissant une homologie dont la caractéristique d'Euler redonne le polynôme de Jones. De nombreuses perspectives apparaissent alors, dont en particulier les relations entre catégorifications pour les nœuds et pour les groupes quantiques, de même que les extensions vers les 3-variétés, forment les deux axes de cette thèse. Dans la recherche d'extensions aux 3-variétés, les outils classiques que sont la chirurgie ou les scindements de Heegaard nous invitent à nous intéresser aux surfaces (de recollement), et la nouvelle preuve de la formule de Frohman-Gelca que nous présentons s'intègre dans ce contexte. La réinterprétation de l'homologie de Khovanov avec les cobordismes, proposée par Bar-Natan, s'étend aux surfaces épaissies, mais cette extension impose des relations supplémentaires. Nous montrons que ce n'est pas le cas si l'on considère des modèles désorientés tels qu'introduits par Clark-Morrison-Walker et Blanchet. Un autre point de vue sur l'homologie de Khovanov provient de la théorie des représentations, d'où est originaire la définition du polynôme de Jones donnée par Reshetikhin et Turaev. Nous montrons à l'aide de mousses et d'une antidualité de Howe catégorique, que l'homologie de Khovanov s'intègre dans le cadre de la théorie des représentations d'ordre supérieur. Cette réinterprétation du polynôme de Jones et de l'homologie de Khovanov suggère également des extensions pour d'autres cadres topologiques. Ainsi, l'analogue affine nous fournit une version des modules d'écheveau pour l'anneau qui puise sa source dans la théorie des représentations.

Khovanov set up in 2000 the basis of the categorification program in knot theory, introducing an homology whose characteristics recovers the Jones polynomial. This opened many perspectives, and in particular the relations between categorifications in knots and in quantum groups, as well as possible extensions towards other 3-manifolds are central questions of this thesis. Looking for extensions to general 3-manifolds, classical tools such as surgery or Heegaard splittings invite us to look at (gluing) surfaces, and we present a new proof of Frohman-Gelca formula which embeds in that context. Bar-Natan's interpretations of Khovanov homology in terms of cobordisms are also suitable for extensions towards thickened surfaces, although requiring new relations in the category. We show however that they are not necessary if one considers disoriented models as introduced by Clark-Morrison-Walker and Blanchet. Another point of view on Khovanov homology can be provided by representation theory, from which Reshetikhin-Turaev's présentation of the Jones polynomial is originated. We show, using foams and categorical skew-Howe duality, that Khovanov homology can be understood in the context of higher representation theory. This reinterpretation of Jones polynomial and Khovanov homology also suggests extensions towards other topological settings. For instance, the affine analogue gives us a representation-theory flavored reinterpretation of skein modules of an annulus.