Khovanov-Rozansky homologies, knotted weighted webs and the slice genus

• Auteur / Autrice : Lukas Lewark
• Direction : Christian Blanchet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Théorie des noeuds

Homologie

Résumé

Cette thèse porte sur les homologies de Khovanov-Rozansky et les invariants de concordance des nœuds qui en proviennent, en prêtant une attention particulière à l'homologie s13 définie par des mousses. Le premier chapitre est consacré aux interdépendances des différentes homologies de Khovanov-Rozansky : les homologies non-réduite et réduite, graduée et filtrée, et les homologies Homflypt et slN pour différents valeurs de N. Grâce à une composition des suites spectrales connues et nouvelles, on démontre sur des exemples que les invariants de concordance slN ne sont pas tous égaux ; ce résultat constitue une réponse à un problème ouvert jusqu'à ici. Le deuxième et troisième chapitres présentent une implémentation d'un algorithme qui calcule l'homologie s!3. Hormis le programme de Bar-Natan, Green et Morrison, donnant l'homologie de Khovanov, il s'agit du seul programme pour calculer une des homologies de Khovanov-Rozansky d'une manière efficace. Les calculs démontrent que l'invariant de concordance s13 peut prendre des valeurs impaires. Dans le quatrième chapitre, les homologies s!3 graduées et filtrées sont étendues à une classe des graphes noués et F3- pondérés : les toiles nouées pondérées. Les mousses pondérables, qui jouent le rôle des cobordismes orientables pour les toiles pondérées, permettent de définir la notion de degré lisse pour des toiles nouées pondérées. Par analogie avec le travail de Rasmussen, on démontre qu'une borne inférieure au degré lisse des toiles nouées pondérées découle de l'homologie s13 filtrée.

This thesis focuses on the Khovanov-Rozansky homologies and the knot concordance invariants issuing from them, paying particular attention to the s13-foam homology. The first chapter treats the interrelation of different Khovanov-Rozansky homologies: unreduced and reduced, graded and filtered, and categorifying the Homflypt-polynomial and the slN-polynomial for varying N. A combination of new and known spectral sequences allows to show exemplarily that the slN-knot concordance invariants may differ, which was unknown until now. In the second and third chapter, an implementation of an algorithm Computing s13-homology is presented. Aside from Bar-Natan, Green and Morrisons' programme calculating Khovanov homology, this is the only existing programme that efficiently computes any Khovanov-Rozansky homology theory. Its calculations show that the s!3-knot concordance invariant may be an odd integer. In the fourth chapter, graded and filtered s!3-homology are generalised to a class of knotted F3-weighted graphs, called knotted weighted webs. Weightable foams are defined, which are to knotted weighted webs what orientable cobordisms are to knots, and the slice degree of knotted weighted webs is introduced. In analogy with Rasmussen's result, it is shown that the filtered sl3-homology yields a lower bound for the slice degree of knotted weighted webs.