Asymptotic analysis and boundary layers : a few problems in homogenization and fluid mechanics

• Auteur / Autrice : Christophe Prange
• Direction : David Gérard-Varet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Potentiel, Théorie du

Mécanique des fluides

Méthodes d'homogénéisation numérique

Couche limite

Analyse géométrique asymptotique

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'analyse asymptotique de quelques équations aux dérivées partielles, issues de la science des matériaux composites et de la mécanique des fluides géophysiques et viscoélastiques. Leur point commun est de faire intervenir un petit paramètre qui peut traduire des oscillations à l'échelle microscopique (hétérogénéités, rugosités), ou provenir d'un adimensionnement (Rossby, Weissenberg). La problématique générale est de dériver des modèles limites, de montrer des résultats de convergence et des estimations d'erreur entre une solution et son approximation. La présence d'un bord peut être la cause de singularités, ce qui conduit à étudier finement le comportement des solutions dans une couche limite. Pour l'étude des problèmes de couches limites, le leitmotiv de nos travaux est de s'affranchir au maximum d'hypothèses de structure sur les données du problème (périodicité, quasipériodicité). Nous étudions la convergence loin du bord d'un correcteur de couche limite provenant de l'homogénéisation d'un système elliptique à coefficients et donnée de Dirichlet oscillants. Nous démontrons le caractère bien posé du système de Stokes-Coriolis dans un semi-espace rugueux, pour un profil de rugosité arbitraire. Nous étudions l'homogénéisation de systèmes elliptiques de type couche limite en domaines polygonaux convexes, et utilisons nos résultats pour établir un développement à l'ordre 1 des valeurs propres d'un système elliptique à coefficients oscillants. On s'intéresse enfin à des modèles de fluides viscoélastiques dans la limite de faible nombre de Weissenberg. Nous obtenons des résultats de convergence faible et forte vers le système de Navier-Stokes.

This thesis is devoted to the asyptotical analysis of several partial differential equations. We study models from the science of composite materials, and from geophysical and viscoelastic fluid mechanics. They all involve a small parameter, which may either represent oscillations at the microscopic scale (heterogeneities in composite materials, rugosities in fluid mechanics), or a dimensionless parameter (Rossby or Weissenberg numbers). Generally speaking, our work is concerned with the derivation of limit models, with the proof of convergence results, and of error estimates between a solution and its approximation. The presence of a boundary may cause singularities, which lead to a refined study of the behaviour of the solutions near the boundary, in the boundary layer. The leitmotiv of our studies of boundary layer problems is to free ourselves from structure assuptions (periodicity, quasiperiodicity) on the data of the problem. We study the convergence far away from the boundary of a boundary layer corrector coming from the homogenization of an elliptic system with oscillating coefficients and boundary data. We show the well-posedness of the Stokes-Coriolis system in a rough half-space, for an arbitrary rugosity profile. We study the homogenization of boundary layer type elliptic systems in convex polygonal domains, and use our results to show a first-order asymptotic expansion of the eigenvalues of an elliptic system with oscillating coefficients. We finally analyse models of viscoelastic fluid flows in the low Weissenberg limit. We get weak and strong convergence results toward the Navier-Stokes system.