Functions of the first Baire class

• Auteur / Autrice : Raphaël Carroy
• Direction : Olivier Finkel, Jacques Duparc
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques : Logique et fondements de l'informatique
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions continues

Théorie des jeux

Baire, Espaces de

Résumé

Le but de cette thèse est de trouver de nouveaux outils permettant mieux comprendre les fonctions boréliennes. L'analyse qui nous sert de modèle est celle de Wadge des ensembles boréliens, et l'horizon lointain de ce projet est d'obtenir une hiérarchie des fonctions aussi fine que celle de Wadge l'est pour les ensembles. Nous nous sommes concentrés sur l'analyse de la première classe de Baire, et particulièrement sur les fonctions continues. Au vu de l'importance des jeux dans l'analyse de Wadge, ce sont d'abord les outils que nous avons cherché à développer. Nous nous sommes donc restreints aux espaces 0-dimensionnels, dans lesquels lies jeux sont possibles. Les fonctions considérées ici sont donc de et [dans un fermé de l'espace de Baire. Le premier but est de trouver des méthodes de théorie des jeux et les utiliser pour prouver des résultats concernant les fonctions de première classe, nous donnons ainsi de nouvelles preuves du Grand héorème de Baire, ainsi que du Théorème de Jayne-Rogers. Ensuite, nous définissons un quasi-ordre pour les fonctions qui préserve la simplicité de celles-ci, par exemple leur classe de Baire. On utilise la simplicité du quasi-ordre, i. E. Le fait d'être bon ou non, comme critère principal pour choisir entre différentes notions préservant la simplicité des fonctions. Prouver qu'un quasi-ordre assez fin, comme celui que nous voulons définir, est bon, est loin d'être une tâche aisée, donc nous indiquons celui qui a le plus de chances de jl'etre, et commençons à l'étudier sur les fonctions continues.

IThe aim of this thesis is to provide new tools for handling and getting |a better understanding of Borel functions. We take the Wadge analysis |on sets as a role model for our analysis of functions, and the far horizon of the project is to get a description of functions that is as precise as the Wadge hierarchy on sets is. We focus on the first Baire (class and specifically on the continuous functions. The use of games in the analysis of the Wadge hierarchy being central, games are the first tools that we try to develop. The framework that (allows to mix games and functions is given by the Polish and 0-(dimensional spaces. So from this point onwards, we only consider (functions from and into a closed subspace of the Baire space. The first idea for this thesis is to find purely game-theoretical methods (and use them to provide new proofs of the Baire Lemma on pointwise (convergence or of the Jayne-Rogers Theorem. Then, as a second approach, we look for a reduction notion for functions that preserves the simplicity of these, so for instance the Baire class. We use the simplicity of the quasi-order, i. E. It being a well-quasi-order, as a major criterion to choose between several notions that preserve the regularity of functions. It is far from being [an easy task to prove that a fine quasi-order is a wqo, so we describe the one candidate that is most likely on a very wide class of functions. Then we begin to study it on the restricted class of continuous functions.