Algorithmic and combinational results on permutation classes

• Auteur / Autrice : Adeline Pierrot
• Direction : Dominique Rossin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Logique combinatoire

Algorithmes

Permutations (mathématiques)

SDL (langage de programmation)

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude des classes de permutations à motifs exclus. Une analyse combinatoire des permutations via leur décomposition par substitution permet d'obtenir des résultats algorithmiques. La première partie de la thèse étudie la structure des classes de permutations. Plus précisément on donne un algorithme pour calculer une spécification combinatoire pour une classe de permutations données par sa base de motifs exclus. La spécification est obtenue si et seulement si la classe contient un nombre fini de permutations simples, cette condition étant testée par l'algorithme lui-même. Cet algorithme puise sa source dans les travaux de Albert et Atkinson établissant qu'une classe ayant un nombre fini de permutations simples a une base finie et une série génératrice algébrique. Les méthodes développées utilisent la théorie des langages et des automates, les ensembles partiellement ordonnés, l'introduction de motifs obligatoires. La seconde partie de la thèse donne un algorithme polynomial décidant si une permutation donnée en entrée est triable par deux piles connectées en série. L'existence d'un algorithme polynomial résolvant cette question est un problème longtemps resté ouvert, que l'on clôt dans cette thèse en introduisant une nouvelle notion, le tri par sas, en utilisant un codage des procédures de tri par un bi-coloriage du diagramme des permutations. Puis on résout le problème général en montrant qu'une procédure de tri général correspond à plusieurs étapes de tri par sas.

This work is dedicated to the study of pattern closed classes of permutations. Algorithmic results are obtained thanks to a combinatorial study of permutation classes through their substitution decomposition. The first part of the thesis focuses on the structure of permutation classes. More precisely, we give an algorithm which derives a combinatorial specification for a permutation class given by its basis of excluded patterns. The specification is obtained if and only if the class contains a finite number of simple permutations, this condition being tested algorithmically. This algorithm takes its root in the theorem of Albert and Atkinson stating that every permutation class containing a finite number of simple permutations has a finite basis and an algebraic generating function, and its developments by Brignall and al. The methods involved make use of languages and automata theory, partially ordered sets and mandatory patterns. The second part of the thesis gives a polynomial algorithm deciding whether a permutation given as input is sortable trough two stacks in series. The existence of a polynomial algorithm answering this question is a problem that stayed open for a long time, which is solved in this thesis by introducing a new notion, the pushall sorting, which is a restriction of the general stack sorting. We first solve the decision problem in the particular case of the pushall sorting, by encoding the sorting procedures through a bicoloring of the diagrams of the permutations. Then we solve the general base by showing that a sorting procedure in the general case corresponds to several steps of pushall sorting which have to be compatible.