Modular representations and local structure of finite groups

• Auteur / Autrice : Erwan Biland
• Direction : Michel Broué, Claude Levesque
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 7 en cotutelle avec Université Laval (Québec, Canada)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations modulaires de groupes

Brauer, Groupe de

Modules (algèbre)

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans la recherche d'une preuve modulaire du Z*p-théorème pour p impair, dont la seule démonstration connue repose sur la classification des groupes finis simples. Soit O une extension assez grande de l'anneau p-adique Z_p, et k son corps résiduel. Soit G un groupe fini, e un bloc de l'algèbre OG et H = C_G(P) le centralisateur d'un p-sous-groupe de G. Si le sous-groupe H contrôle la fusion du bloc e en un sens très fort, nous prouvons l'existence d'une équivalence stable de type Morita entre le bloc e et un bloc f de l'algèbre OH, sous réserve qu'un groupe de défaut du bloc e soit abélien ou que son centre ne soit pas cyclique. Nous étendons ainsi un résultat déjà connu pour le bloc principal. Pour construire le bimodule qui induit cette équivalence stable, nous sommes amené à étudier les modules sur une algèbre de bloc OGe qui possèdent une source d'endopermutation fusion-stable, et que nous appelons des modules «Brauer-compatibles». Nous montrons en particulier comment la construction «slash» de Dade peut être appliquée à ces modules, et comment cette construction peut être rendue fonctorielle si on la restreint à une sous-catégorie «Brauer-compatible» de la catégorie des OGe-modules. Nous prouvons qu'un OGe-module indécomposable Brauer- compatible est caractérisé par une sous-paire vortex (Q, e_Q), un module source V , et un module projectif indécomposable sur l'algèbre de bloc locale k[N_G(Q, e_Q)/Q]e_Q associée à la sous-paire (Q, e_Q). Nous donnons ainsi une formulation fonctorielle de la correspondance de Puig pour les modules Brauer-compatibles.

This thesis is related to the pursuit of a modular proof of the odd Z*p-theorem, while the only known proof of that theorem relies on the classification of finite simple groups. Let O be a big enough extension of the p-adic ring Z_p, and k be its residue field. Let G be a finite group, e be a block of the algebra OG, and H = C_G(P) be the centraliser of a p-subgroup of G. If the subgroup H controls the fusion of the block e in a very strong sense, we prove the existence of a stable equivalence of Morita type between the block e and a block f of the algebra OH, provided that a defect group of the block e is abelian or has a noncyclic center. This extends a result previously known for the principal block. In order to construct the bimodule that induces this stable equivalence, we are led to study the class of modules over a block algebra OGe that admit a fusion-stable endopermutation source. We call them ''Brauer-friendly'' modules. In particular, we show that Dade's ''slash'' construction applies to these modules, and that this construction can be turned into a functor over a ''Brauer-friendly'' subcategory of the category of OGe-modules. We prove that an indecomposable Brauer-friendly module is characterised by a vertex subpair (Q,e_Q), a source module V, and a projective indecomposable module over the local block algebra k[NG(Q,e_Q)/ Q]e_Q attached to the subpair (Q,e_Q). This provides a functorial version of the Puig correspondence for Brauer-friendly modules.