Résolution de systèmes polynomiaux et cryptologie sur les courbes elliptiques

• Auteur / Autrice : Louise Huot
• Direction : Jean-Charles Faugère
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programmation (mathématiques)

Cryptographie

Courbes elliptiques

Opérateurs polynomiaux

Gröbner, Bases de

Résumé

Depuis ces dix dernières années, les attaques algébriques sur lelogarithme discret sur les courbes elliptiques (ECDLP) connaissent unlarge succès. C'est dans ce contexte que s'inscrit cette thèse dontles enjeux sont doubles. D'une part, nous présentons de nouveaux outils de cryptanalysealgébrique c'est à dire de nouveaux algorithmes de résolution desystèmes polynomiaux. Dans un premier temps, nous étudions lessystèmes avec symétries. Nous montrons que la résolution de telssystèmes est étroitement liée à la résolution de systèmesquasi-homogènes et proposons ainsi de nouveaux résultats decomplexité. Dans un second temps, nous nous intéressons à l'étapebloquante de la résolution de systèmes par bases de Gröbner : lechangement d'ordre. La complexité classique de cette étape est cubiqueen le nombre de solutions. Nous proposons pour la première foisdes algorithmes de changement d'ordre de complexité sous-cubique en lenombre de solutions. D'autre part, nous étudions la résolution du problème de décompositionde points (PDP) sous-jacent aux attaques algébriques du ECDLP. Nousmettons en évidence des familles de courbes elliptiques possédant dessymétries particulières. Ces symétries impliquent un gain exponentielsur la complexité de la résolution du PDP. La modélisation du PDP sousforme de systèmes polynomiaux nécessite le calcul des polynômes deSemaev. Les symétries des courbes binaires nous permettent d'élaborerun nouvel algorithme par évaluation interpolation pour le calcul de cespolynômes. Muni de cet algorithme nous établissons unnouveau record de calcul de polynômes de Semaev.

Since the last decade, algebraic attacks on the elliptic curvediscrete logarithm problem (ECDLP) are successful. This thesis takesplace in this context and its main stakes are twofold. On the one hand, we present new tools for algebraic cryptanalysis thatis to say new algorithms for polynomial systems solving. First, weinvestigate polynomial systems with symetries. We show that solvingsuch a system is closely related to solve quasi-homogeneous systemsand thus we propose new complexity bounds. Then, we study thebottleneck of solving polynomial systems with Gröbner bases: change ofordering algorithms. The usual complexity for such algorithms is cubicin the number of solutions. For the first time, we propose new changeof ordering algorithms with sub-cubic complexity in the number ofsolutions. On the other hand, we investigate the point decomposition probleminvolved in algebraic attacks on the ECDLP. We highlight some familiesof elliptic curves that admit particular symmetries. These symmetriesimply an exponential gain on the complexity of solving the pointdecomposition problem. The modelling of this problem requires tocompute Semaev summation polynomials. The symmetries of binary curvesallow us to propose a new algorithm to compute summationpolynomials. Equipped with this algorithm we establish a new record onthe computation of these polynomials.