Etude multi-échelle de modèles probabilistes pour les systèmes excitables avec composante spatiale

• Auteur / Autrice : Alexandre Genadot
• Direction : Michèle Thieullen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Réseaux neuronaux (informatique)

Analyse multiéchelle

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Markov, Processus de

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de modèles probabilistes pour la génération et la propagation d'un potentiel d'action dans les neurones et plus généralement de modèles aléatoires pour les systèmes excitables. En effet, nous souhaitons étudier l'influence du bruit sur certains systèmes excitables multi-échelles possédant une composante spatiale, que ce soit le bruit contenu intrinsèquement dans le système ou le bruit provenant du milieu. Pour étudier le bruit intrinsèque, nous considérons des processus de Markov déterministes par morceaux à valeurs dans des espaces de Hilbert (''Hilbert-valued PDMP''). Nous nous sommes intéressés à l'aspect multi-échelles de ces processus et à leur comportement en temps long. Dans un premier temps, nous étudions le cas où la composante rapide est une composante discrète du PDMP. Nous démontrons un théorème limite lorsque la composante rapide est infiniment accélérée. Nous étudions ensuite les fluctuations du modèle multi-échelles autour du modèle moyenné en montrant que celles-ci sont gaussiennes à travers la preuve d'un théorème de type central limit. Dans un deuxième temps, nous abordons le cas où la composante rapide est elle-même un PDMP. Cela requiert de connaître la mesure invariante d'un PDMP à valeurs dans un espace de Hilbert. Nous montrons qu'il existe une unique mesure invariante et la convergence exponentielle du processus vers cette mesure. Pour étudier le bruit externe, nous considérons des systèmes d'équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) conduites par des bruits colorés. Nous menons l'analyse numérique d'un schéma de type différences finies en temps et éléments finis en espace.

The purpose of the present thesis is the mathematical study of probabilistic models for the generation and propagation of an action potential in neurons and more generally of stochastic models for excitable cells. Indeed, we want to study the effect of noise on multiscale spatially extended excitable systems. We address the intrinsic as well as the extrinsic source of noise in such systems. To study the intrinsic or internal noise, we consider Hilbert-valued Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs). We are interested in the multiscale and long time behavior of these processes. In a first part, we study the case where the fast component is a discrete component of the PDMP. We prove a limit theorem when the speed of the fast component is accelerated. Then, we study the fluctuations of the multiscale model around the averaged one and show that the fluctuations areGaussians through the proof of a Central Limit Theorem. In a second part, we consider the case where the fast component is itself a PDMP. This requires knowledge about the invariant measure of Hilbert-valued PDMPs. We show the existence and uniqueness of an invariant measure and the exponential convergence of the process toward this measure. To study the extrinsic or external noise, we consider systems of Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) driven by colored noises. We analyze numerical schemes based on finite differences in time and finite elements in space.