Local cohomology, graded ideals and their powers

• Auteur / Autrice : Amir Bagheri
• Direction : Marc Chardin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Idéaux (algèbre)

Anneaux (algèbre)

Algèbres commutatives

Invariants

Topologie

Résumé

In this dissertation, we will provide some properties of certain classes ofmodules and rings. Because of variation of results and since the author has done his researches in Universite Pierre et Marie Curie and University of Tehran, the thesis is partitioned into two parts. The first part is prepared in the graded case. Indeed, in this part we will concern the multigraded support of Tor and local cohomology of powers of ideals in the case that the ring is G-graded where G is a finitely generated abelian group. More precisely, in this part we prove that support of Tor and local cohomology are asymptotically linear functions. Note thatin the case of local cohomology, we assume that the module is such that local cohomology is finitely generated. It is well-known that toric ideals are one of the most important examples for this class of modules. As a result, we conclude the results of Kodiyalam and Cutkosky, Herzog and Trung about asymptotic linearity of Castelnuovo-Mumford regularity of powers of ideals. Moreover, we prove that in the case that the ideal I is equigenerated, then dimension of tor of powers of I in degrees of support of tor is asymptotically obtained from a polynomial. These results are appeared in \cite{BCH}. In addition, in the last chapter of this part we generalize the above result to arbitrary ideals. In fact, we prove that dimension of tor of powers ofI in degrees of support of tor is asymptotically obtained from a quasi-polynomial. Indeed, by using the concept of vector partition functions, we investigate the asymptotic behavior of Betti numbers of powers of ZZ-homogeneousideals in the polynomial ring with its usual grading. It is shown that the Hilbert function of non-standard graded polynomial rings is quasi-polynomial. Applying this result, we prove our main result that states the Betti numbers of powers of homogeneous ideals have a quasi-polynomial behavior when the power gets large enough which generalizesthe result of Kodiyalam on this issue. More precisely, for the couple (\mu,t)\in \ZZ^2 with dim_k\left(\tor_i^S(I^t, k)_{\mu} \right) \neq 0, ZZ^2 can be splitted into a finite number of regions such that in each of them dim_k \left(\tor_i^S(I^t, k)_{\mu} \right) is a quasi-polynomial in mu, t for t large enough. This result is appeared in \cite{BL}. This part includes the principal result of this thesis. The second part contains two chapters. In the first chapter, we will investigate some properties to produce quasi-Gorenstein rings. In this way, we will describe a new structure on the ring R, called amalgamated duplication, that is defined by D'Anna and Fontana and is a special case of extension of rings. Also, some homological properties of this ring will beinvestigated. In the second chapter of part two, we will define a new class of modules that contains finitely generated, fa-cofinite and big Cohen-Macaulay modules and we will improve some important results of local cohomology to this class. As a main result in this chapter, Grothendieck's non-vanishing theorem will be generalized. The results of part two are appeared in \cite{B} and \cite{BSTY}.

Dans cette thèse, nous allons donner quelques propriétés de certaines catégories des modules et les anneaux. En raison de la variation des résultats et puisque l'auteur a fait ses recherches dans l'Université Pierre et Marie Curie et l'Université de Téhéran, la thèse est divisé en deux parties. La première partie est disposée dans le cas graduée. En effet, dans cette partie nous allons concerner le support multigrades de Tor et cohomologie locale des puissances des idéaux dans le cas où l'anneau est G-gradué où G est un groupe commutatif de type fini. Plus précisément, dans cette partie, nous montrons que le support de Tor et cohomologie locale sont asymptotiquement fonctions linéaires. Notez que dans le cas de cohomologie locale, nous supposons que le module est telle que les cohomologies locales sont de type fini. En conséquence, nous concluons des résultats de Kodiyalam et Cutkosky, Herzog et Trung sur linéarité asymptotique de régularité de Castelnuovo-Mumford pour puissances des idéaux. De plus, nous montrons que dans le cas où l'idéal I est equi-engendré, dimension de tor de puissances de I en degrés de support de tor est asymptotiquement obtenue à partir d'un polynôme. En outre, dans le dernier chapitre de cette partie, nous généralisons le résultat ci-dessus aux idéaux arbitraires. En fait, nous montrons que la dimension de tor de puissances de I en degrés de support de tor est asymptotiquement obtenue à partir d'un quasi-polynôme. En effet, en utilisant le concept de fonctions de partition vectorielle, nous étudions le comportement asymptotique des nombres de Betti des puissances de ZZ-homogène idéaux de l'anneau de polynômes avec son graduation habituel. Il est démontré que la Fonction de Hilbert des anneaux de polynômes graduées non-standard est quasi-polynôme. Applicant de ce résultat, nous prouvons notre principal résultat qui indique les nombres de Betti des puissances des idéaux homogènes ont un comportement quasi-polynôme lorsque la puissance devient assez grand qui généralise le résultat de Kodiyalam sur cette question. Comme un cas particulier, pour le couple (\mu, t)\in\ZZ^2 avec dim_k\left(\tor_i^S(I^t,k)_{\mu}\right)\neq0, ZZ^2 peut être découpé en une nombre fini de régions de telle sorte que dans chacun d'entre eux dim_k\left(\tor_i^S(I^t, k)_{\mu}\right) est un quasi-polynôme en (\mu, t) pour t assez grand. Ces résultats sont apparus dans \cite{BCH}et \cite{BaLa}. Cette partie comprend le principal résultats de cette thèse. La deuxième partie contient deux chapitres. Dans le deuxième chapitre de cette partie, nous allons étudier certaines propriétés pour produire des anneaux quasi-Gorenstein. De cette façon, nous allons décrire une nouvelle structure sur l'anneau R, appelé duplication amalgamé, qui est définie par D'Anna et Fontana et est un cas particulier de extension des anneaux. Aussi, certaines propriétés homologie de cet anneau sera enquête. Dans le troisième chapitre de la deuxième partie, nous allons définir une nouvelle classe de modules contient des modules de type fini, grands Cohen-Macaulay et fa-cofinite et nous allons améliorer certains résultats importants de cohomologie locale à cette classe. En conséquence principale de ce chapitre, le théorème de non-disparition de Grothendieck volonté être généralisé. Les résultats de la deuxième partie sont apparus dans \cite{B} et \cite{BSTY}.