Structures quasi-Poisson sur l'espace des modules de connexions plates, entropies d'ensembles de Tits simpliciaux

• Auteur / Autrice : Xin Nie
• Direction : Gilles Courtois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6 en cotutelle avec Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie (théorie de l'information)

Géométrie

Espaces de Hilbert

Surfaces (mathématiques)

Poisson, Algèbres de

Résumé

Cette thèse comprend deux parties. La première partie porte sur la structure quasi- Poisson sur l’espace des connexions plates. D’abord nous généralisons la formule de Gold- man concernant le crochet de Poisson pour l’espace des modules de connexions plates dans le cadre quasi-Poisson. Puis nous appliquons la théorie quasi-Poisson aux espaces de confi- gurations de drapeaux au sens large, en montrant que l’espace des modules de connexions plates avec ossatures provient d’une réduction quasi-Poisson. Ceci implique en particulier que la structure de Poisson de Fock-Goncharov coïncide avec celle d’Atiyah-Bott. Enfin, nous discutons de quantifications par déformation de variétés quasi-Poisson. La deuxième partie traite un problème indépendant concernant la métrique de Hilbert sur les variétés projectives réelles convexes. En répondant à une question de M. Crampon, nous montrons que l’entropie volumique d’une famille à un paramètre explicite d’orbifolds projectifs convexes tend vers zero.

This thesis consists of two parts. The first part is concerned with the quasi-Poisson structure on the space of flat connections. First we generalize Goldman’s Poisson bracket for moduli space of flat connections to the quasi-Poisson setting. Then we apply the quasi- Poisson theory to configuration spaces of flags in a broad sense, showing that Fock and Goncharov’s moduli space of framed flat connections arises from quasi-Poisson reduction. This in particular implies that Fock-Goncharov’s Poisson structure coincides with Atiyha- Bott’s. Finally, we discuss deformation quantizations of quasi-Poisson manifolds. The second part deals with an independent problem about Hilbert metrics on convex real projective manifolds. Answering a question of M. Crampon, we show that the volume entropy of an explicit one-parameter family of convex projective orbifolds tends to zero.