Comportement en temps long des solutions de certaines équations d'évolution du second ordre

• Auteur / Autrice : Faouzia Aloui
• Direction : Alain Haraux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles linéaires

Équations d'évolution non linéaires

Liapounov, Fonctions de

Résumé

On s'intéresse dans le premier chapitre à estimer une borne ultime des solutions d'une équation d'évolution linéaire du second ordre avec des opérateurs généraux et un terme de force borné. Pour estimer une borne ultime des solutions, on construit une fonctionnelle d'énergie adaptée à l'équation. À l'aide des inégalités différentielles, on obtient une borne ultime uniforme pour toute solution bornée. Le chapitre 2 s'est consacré à étudier le bornage et la précompacité des solutions d'une équation d'évolution du second ordre avec un terme de dissipation non linéaire. Afin de montrer les propriétés de bornage et de précompacité, on choisit une fonctionnelle d'énergie adéquate à notre équation. La construction de la fonction de Lyapunov est en fait une modification de l'énergie des solutions. Le résultat de précompacité est outil basique pour montrer l'existence des solutions presque périodiques et de généraliser des résultats concernant la convergence vers l'équilibre quand on ajoute un terme non linéaire à l'équation et le terme de force tend assez vite vers zéro pour un temps assez grand. Dans le chapitre 3, on étudie un cas particulier de l'équation du chapitre 2, aprés établir le bornage des solutions, on cherche à estimer une borne ultime de la solution. La méthode utilisée ici est basée sur la distinction entre deux cas de l'énergie. Le dernier résultat est destiné à étudier le comportement des solutions d'une équation différentielle ordinaire du second ordre non linéaire prés du temps de l'explosion. La preuve est basée sur un simple calcul en introduisant les coordonnées polaires.

We establish in the first chapter an ultimate bound of solutions to a second order linear evolution equation with unbounded damping and bounded forcing term. For estimate the ultimate bound, we use a method of adapted energy functional obtained by perturbing the energy. By using differential inequalities, we obtain an ultimate bound for any solution. The second chapter is devoted to studying the boundedness and compactness of solutions to second order evolution equation with nonlinear damping term and locally integrable forcing term. We construct two energy functionals to prove the properties of boundedness and compactness. The result of compactness is a basic tool to prove the existence of almost periodic solutions and to generalize some results concerning convergence to equilibrium when a nonlinear term is added and the forcing term dies off sufficiently fast for a large time. Chapter 3 is devoted to studying a special case of equation to chapter 2, after establishing the boundedness properties, we give an estimate for an ultimate bound of solutions. The method used is based on distinction of two cases concerning the energy. In the last chapter, we study the asymptotic behavior of solutions of second order nonlinear EDOs near the blow-up. By introducing the polar coordinates and simple calculations, we prove the result.