Estimation adaptative avec des données transformées ou incomplètes. Application à des modèles de survie

Adaptive estimation with warped or incomplete data. Application to survival analysis

• Auteur / Autrice : Gaëlle Chagny
• Direction : Fabienne Comte
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2013
• Etablissement(s) : Paris 5
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques appliquées Paris 5
• Jury : Président / Présidente : Dominique Picard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabienne Comte, Dominique Picard, Oleg V. Lepski, Patricia Reynaud-Bouret, Jérôme Dedecker, Cécile Durot, Christophe Giraud, Agathe Guilloux
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Oleg V. Lepski, Patricia Reynaud-Bouret

Mots clés

Mots clés contrôlés

Estimation, Théorie de l'

Mots clés libres

Estimation adaptative

Sélection de modèles

Méthode de Lepski

Bases et noyaux déformés

Régression

Données censurées

Probème à deux échantilllons

Adaptative estimation

Model selection

Lepski's method

Warped bases and kernels

Regression

Censored data

Two-sample problem

Résumé

Cette thèse présente divers problèmes d'estimation fonctionnelle adaptative par sélection d'estimateurs en projection ou à noyaux, utilisant des critères inspirés à la fois de la sélection de modèles et des méthodes de Lepski. Le point commun de nos travaux est l'utilisation de données transformées et/ou incomplètes. La première partie est consacrée à une procédure d'estimation par ''déformation'', dont la pertinence est illustrée pour l'estimation des fonctions suivantes : régression additive et multiplicative, densité conditionnelle, fonction de répartition dans un modèle de censure par intervalle, risque instantané pour des données censurées à droite. Le but est de reconstruire une fonction à partir d'un échantillon de couples aléatoires (X,Y). Nous utilisons les données déformées (ф(X),Y) pour proposer des estimateurs adaptatifs, où ф est une fonction bijective que nous estimons également (par exemple la fonction de répartition de X). L'intérêt est double : d'un point de vue théorique, les estimateurs ont des propriétés d'optimalité au sens de l'oracle ; d'un point de vue pratique, ils sont explicites et numériquement stables. La seconde partie s'intéresse à un problème à deux échantillons : nous comparons les distributions de deux variables X et Xₒ au travers de la densité relative, définie comme la densité de la variable Fₒ(X) (Fₒ étant la répartition de Xₒ). Nous construisons des estimateurs adaptatifs, à partir d'un double échantillon de données, possiblement censurées. Des bornes de risque non-asymptotiques sont démontrées, et des vitesses de convergences déduites.

This thesis presents various problems of adaptive functional estimation, using projection and kernel methods, and criterions inspired both by model selection and Lepski's methods. The common point of the studied statistical setting is to deal with transformed and/or incomplete data. The first part proposes a method of estimation with a ''warping'' device which permits to handle the estimation of functions such as additive and multiplicative regression, conditional density, hazard rate based on randomly right-censored data, and cumulative distribution function from current-status data. The aim is to estimate a function from a sample of random variable (X,Y). We use the warped data (ф(X),Y), to propose adaptive estimators, where ф is a one-to-one function that we also estimate (e.g. the cumulative distribution function of X). The interest is twofold. From the theoretical point of view, the estimators are optimal in the oracle sense. From the practical point of view, they can be easily computed, thanks to their simple explicit expression. The second part deals with a two-sample problem : we compare the distribution of two variables X and Xₒ by studying the relative density, defined as the density of Fₒ(X) (Fₒ is the c.d.f. of Xₒ). We build adaptive estimators, from a double data-sample, possibly censored. Non-asymptotic risk bounds are proved, and convergence rates are also derived.