Marche aléatoire auto-évitante en auto-interaction

Interacting partially directed self-avoiding walk

• Auteur / Autrice : Gia Bao Nguyen
• Direction : Philippe Carmona, Nicolas Pétrélis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Nantes
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transitions de phases

Marches auto-évitantes (mathématiques)

Mots clés libres

Effondrement d’un polymère

Formule variationnelle

Grandes déviations

Aire d’une marche aléatoire

Aire sous un mouvement brownien

Résumé

Dans cette thèse nous étudions le phénomène d’effondrement de différents modèles d’ homopolymères. Nous étudions une marche aléatoire partiellement dirigée en dimension 1+1, auto-évitante et en auto-interaction, connue sous l’acronyme anglais IPDSAW. Il est établi que le modèle IPDSAW a une transition de phase d’effondrement en un paramètre critique _c. Pour étudier la fonction de partition de ce modèle, nous développons une nouvelle méthode qui nous permet d’en déduire une formule variationnelle pour son énergie libre. Cette formule variationnelle peut être utilisée pour prouver l’existence de la transition d’effondrement et pour identifier simplement le point critique. Nous donnons une asymptotique précise de l’énergie libre au voisinage du point critique. Ensuite, nous établissons plusieurs propriétés trajectorielles de notre marche aléatoire à l’intérieur de la phase effondrée (_ > _c). Finalement, nous étudions le modèle IPDSAW soumis à une force extérieure. Nous montrons comment détecter la présence d’un phénomène de ré-entrance sans toutefois résoudre intégralement le modèle.

This work is devoted to the study of the phenomena expansion and collapse for difference polymer models. We investigate the 1 + 1 dimensional self-interacting and partially directed self-avoiding walk, usually referred to by the acronym IPDSAW. The IPDSAW is known to undergo a extended-collapsed transition at a critical point _c. We develop a new method to study the partition function of this model, from which we derive a variational formula for the free energy. This variational formula allows us to prove the existence of the collapse transition and to identify the critical point in a simple way. We provide the precise asymptotic of the free energy close to criticality. We then establish some path properties of the random walk inside the collapsed phase (_ > _c). Finally, we study the IPDSAW subject to a force. We show how to detect the presence of a re-entrant phenomenon without fully solving the model.