Contribution à l'approximation numérique des systèmes hyperboliques

Contribution to the numerical approximation of hyperbolic systems

• Auteur / Autrice : Vivien Desveaux
• Direction : Christophe Berthon, Yves Coudière
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Nantes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nantes. Faculté des sciences et des techniques
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Clain
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Clain, François James, Frédéric Lagoutière, Christophe Berthon, Yves Coudière, Jean-François Coulombel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : François James, Frédéric Lagoutière

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes hyperboliques

Mots clés libres

Reconstruction MUSCL

Robustesse

Condition CFL

Inégalités d'entropie discrètes

Méthode MOOD

Schémas well-balanced

Méthodes de relaxation

Résumé

Dans ce travail, on s’intéresse à plusieurs aspects de l’approximation numérique des systèmes hyperboliques de lois de conservation. La première partie est dédiée à la construction de schémas d��ordre élevé sur des maillages 2D non structurés. On développe une nouvelle technique de reconstruction de gradients basée sur l’écriture de deux schémas MUSCL sur deux maillages imbriqués. Cette procédure augmente le nombre d’inconnues numériques, mais permet d’approcher la solution avec une grande précision. Dans la deuxième partie, on étudie la stabilité des schémas d’ordre élevé. On montre dans un premier temps que les inégalités d’entropie discrètes usuelles vérifiées par les schémas d’ordre élevé ne sont pas pertinentes pour assurer le bon comportement dans le régime de convergence. On propose alors une extension des techniques de limitation a posteriori pour forcer la vérification des inégalités d’entropie discrètes requises. Dans la dernière partie, on s’intéresse à la construction de schémas well-balanced pour le modèle de Saint- Venant, le modèle de Ripa et les équations d’Euler avec gravité. On propose plusieurs stratégies permettant d’obtenir des schémas numériques capables de préserver tous les régimes stationnaires au repos. On développe également des extensions d’ordre élevé.

This work is devoted to several aspects of the numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws. The first part is dedicated to the derivation of high-order schemes on 2D unstructured meshes. We develop a new technique to reconstruct gradients based on two MUSCL schemes written on two overlapping meshes. This process increases the number of numerical unknowns, but it allows to approximate the solution very accurately. In the second part, we study the stability of high-order schemes. First, we show that the usual discrete entropy inequalities satisfied by high-order schemes are not relevant to ensure the good behaviour in the convergence regime. Therefore, we propose to extend the a posteriori limitation techniques to enforce the scheme to satisfy the required discrete entropy inequalities. In the last part, we focus on the derivation of wellbalanced schemes for the Shallow water equations, the Ripa model and the Euler equations with gravity. We present several strategies leading to numerical schemes able to preserve all the steady states at rest. We also develop high-order extensions.