Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Xiequan Fan
Direction : Quansheng LiuIon Grama
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2013
Etablissement(s) : Lorient
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques de Bretagne Atlantique
autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Résumé

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La thèse comporte une introduction rédigé en français et cinq chapitres principaux. Dans le chapitre 1, dans l'esprit de Hoeffding (1963), nous amélioré l'inégalité de Bennett en ajoutant un facteur de taux de décroissance exponentielle. Dans l'esprit de Talagrand (1995), nous avons ajouté un facteur manquant avec un taux de décroissance polynomiale. Dans le chapitre 2, certaines expressions explicites pour les constantes de l'inégalité de Talagrand sont obtenues. Dans la première partie du chapitre 3, nous développons une nouvelle méthode pour obtenir des inégalités exponentielles de concentration pour les (sur)martingales. En utilisant l'approche proposée, nous établissons quelques bornes très générales, qui améliorent les inégalités de Fuk (1973), Nagaev (1979), De La Pena (1999), van de Geer (2002), Pinelis (2006), Liu et Watbled (2009) et Sason (2012). Dans la deuxième partie du chapitre 3, en prenant en considération les écarts quadratiques des (sur)martingales, on obtient une inégalité qui améliore les inégalités dues à Freedman (1975), Dzhaparidze et van Zanten (2001), Bercu et Touati (2008) et Delyon (2009) pour les (sur)martingales. En particulier, cette inégalité généralise l'inégalité de Freedman et améliore le résultat principal de Dzhaparidze et van Zanten. De plus, nous obtenons une nouvelle version de l'inégalité de Freedman pour les martingales auto-normalisées. Dans le chapitre 4, nousétendons l'inégalité de Hoeffding (1963) aux (sur)martingales et améliorons le résultat principal de Freedman (1975). Dans le chapitre 5, nous obtenons des bornes et un développement des probabilités de grandes déviations pour les martingales.