Concentration inequalities for sums of independent random variables and martingales

• Auteur / Autrice : Xiequan Fan
• Direction : Quansheng Liu, Ion Grama
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Lorient
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Santé, information-communication et mathématiques, matière (Brest, Finistère)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique (Brest ; Vannes ; 2004-....)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université européenne de Bretagne (2007-2016)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie de Cramér (mathématique)

Grandes déviations

Processus stochastiques

Martingales (mathématiques)

Mots clés libres

Freedman's inequality

Hoeffding's inequality

Exponential inequality

Résumé

La thèse comporte une introduction rédigé en français et cinq chapitres principaux. Dans le chapitre 1, dans l'esprit de Hoeffding (1963), nous amélioré l'inégalité de Bennett en ajoutant un facteur de taux de décroissance exponentielle. Dans l'esprit de Talagrand (1995), nous avons ajouté un facteur manquant avec un taux de décroissance polynomiale. Dans le chapitre 2, certaines expressions explicites pour les constantes de l'inégalité de Talagrand sont obtenues. Dans la première partie du chapitre 3, nous développons une nouvelle méthode pour obtenir des inégalités exponentielles de concentration pour les (sur)martingales. En utilisant l'approche proposée, nous établissons quelques bornes très générales, qui améliorent les inégalités de Fuk (1973), Nagaev (1979), De La Pena (1999), van de Geer (2002), Pinelis (2006), Liu et Watbled (2009) et Sason (2012). Dans la deuxième partie du chapitre 3, en prenant en considération les écarts quadratiques des (sur)martingales, on obtient une inégalité qui améliore les inégalités dues à Freedman (1975), Dzhaparidze et van Zanten (2001), Bercu et Touati (2008) et Delyon (2009) pour les (sur)martingales. En particulier, cette inégalité généralise l'inégalité de Freedman et améliore le résultat principal de Dzhaparidze et van Zanten. De plus, nous obtenons une nouvelle version de l'inégalité de Freedman pour les martingales auto-normalisées. Dans le chapitre 4, nousétendons l'inégalité de Hoeffding (1963) aux (sur)martingales et améliorons le résultat principal de Freedman (1975). Dans le chapitre 5, nous obtenons des bornes et un développement des probabilités de grandes déviations pour les martingales.

The thesis includes an overview in French and five chapters as the main body. In Chapter 1, in the spirit of Hoeffding (1963), we firstly improve Bennett's inequality by adding an factor with exponential decay rate. In the spirit of Talagrand (1995), we add a missing factor with polynomial decay rate. In Chapter 2, Some explicit expressions for the constants in Talagrand's inequality are obtained. In Chapters 3 and 4, we consider the concentration inequalities for martingales. In the first part of Chapter 3, we develop a new method for obtaining exponential concentration inequalities for (super)martingales. Using the proposed approach, we establish some very general bounds, which improve the inequalities of Fuk (1973), Nagaev (1979), De La Pena (1999), van de Geer (2002), Pinelis (2006) and Sason (2012). Next, we generalize the semi-exponential inequality of Borovkov (2000) and the exponential inequality of Liu and Watbled (2009). In the second part of Chapter 3, we obtain an inequality which improves the inequalities due to Freedman (1975), Dzhaparidze and van Zanten (2001), Bercu and Touati (2008) and Delyon (2009) for (super)martingales. In particular, this inequality generalizes the Freedman's inequality and improves the main result of Dzhaparidze and van Zanten. Moreover, we obtain a new version of Freedman inequality for self-normalized martingales. In Chapter 4, we extend the Hoeffding inequality (1963) to supermartingales and improve the main result of Freedman (1975). In Chapter 5, we obtain some bounds and expansions of large deviation probabilities for martingales with differences satisfying the conditional Bernstein's condition.