Analyse de la convergence de l'algorithme FastICA : échantillon de taille finie et infinie

Convergence analysis of the FastICA algorithm : finite and infinite sample size

• Auteur / Autrice : Tianwen Wei
• Direction : Azzouz Dermoune
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 10/06/2013
• Etablissement(s) : Lille 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique mathématique -- Théorie asymptotique

Séparation de sources (traitement du signal)

Analyse en composantes indépendantes

Mots clés libres

Vitesse de la convergence

M-estimateur

Résumé

L'algorithme FastICA est l'un des algorithmes les plus populaires dans le domaine de l'analyse en composantes indépendantes (ICA). Il existe deux versions de FastICA: Celle qui correspond au cas où l'échantillon est de taille infinie, et celle qui traite de la situation concrète, où seul un échantillon de taille finie est disponible. Dans cette thèse, nous avons fait une étude détaillée des vitesses de convergence de l'algorithme FastICA dans le cas où la taille de l'échantillon est finie ou infinie, et nous avons établi cinq critères pour le choix des fonctions de non-linéarité. Dans les trois premiers chapitres, nous avons introduit le problème de l'ICA et revisité les résultats existants. Dans le Chapitre 4, nous avons étudié la convergence du FastICA empirique et le lien entre la limite de FastICA empirique et les points critiques de la fonction de contraste empirique. Dans le Chapitre 5, nous avons utilisé la technique du M-estimateur pour obtenir la normalité asymptotique et la matrice de covariance asymptotique de l'estimateur FastICA. Ceci nous a permis aussi de déduire quatre critères pour choisir les fonctions de non-linéarité. Un cinquième critère de choix de non-linéarité a été étudié dans le chapitre 6. Ce critère est basé sur une étude fine de la vitesse de convergence de FastICA empirique. Nous avons illustré chaque chapitre par des résultats numériques qui valident nos résultats théoriques.

The FastICA algorithm is one of the most popular algorithms in the domain of Independent Component Analysis (ICA). There exist two versions of FastICA: the one that corresponds to the ideal case that the sample size is infinite, and the one that deal with the practical situation, where a sample of finite size is available. In this thesis, we made a detailed study of the rate of convergence of the FastICA algorithm of both versions, and we established five criteria for the choice of the non-linearity function. In the first three chapters, we introduced the problem of ICA and revisited the classical results. In Chapitre 4, we studied the convergence of empirical FastICA and the link between the limit of empirical FastICA and the critical points of the empirical contrast function. In Chapter 5, we used the technique of M-estimator to obtain the asymptotic normality and the asymptotic covariance matrix of the FastICA estimator. This allowed us to derive four criteria to choose the non-linearity function. A fifth criterion for the choice of the non-linearity function was studied in Chapter 6. This criterion is based on the rate of convergence of the empirical FastICA algorithm. At the end of each chapter, we provided numerical simulations that validate our theoretical results.