Réduction de modèle a priori par séparation de variables espace-temps : Application en dynamique transitoire

A priori model order reduction based on space-time separated representation : Applications to transient dynamics

• Auteur / Autrice : Luca Boucinha
• Direction : Anthony Gravouil
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique
• Date : Soutenance le 15/11/2013
• Etablissement(s) : Lyon, INSA
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique (Villeurbanne ; 2011-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LaMCoS - Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures (Lyon, INSA ; 2007-....) - Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures / LaMCoS
• Jury : Président / Présidente : Pierre Ladevèze
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anthony Gravouil, Pierre Ladevèze, Antonio Huerta, David Ryckelynck, Francisco Chinesta, Amine Ammar
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Antonio Huerta, David Ryckelynck

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation numérique

Analyse numérique

Mots clés libres

Mathématiques

Analyse numérique

Approximation

Numerical analysis

Approximation

Résumé

La simulation numérique des phénomènes physiques est devenue un élément incontournable dans la boite à outils de l'ingénieur mécanicien. Des outils robustes et modulables, basés sur les méthodes classiques d'approximation, sont désormais couramment utilisés dans l'industrie. Cependant, ces outils nécessitent des moyens de calculs importants lorsqu'ils sont utilisés pour résoudre des problèmes complexes. Même si les progrès remarquables de l'industrie informatique rendent de tels moyens de calcul toujours plus abordables, il s'avère aujourd'hui nécessaire de proposer des méthodes d'approximation innovantes permettant de mieux exploiter les ressources informatiques disponibles. Les méthodes de réduction de modèle sont présentées comme un candidat idéal pour atteindre cet objectif. Parmi celles-ci, les méthodes basées sur la construction d'une approximation à variables séparées se sont révélées être très efficaces pour approcher la solution d'une grande variété de problèmes, réduisant les coûts numériques de plusieurs ordres de grandeur. Néanmoins, l'efficacité de ces méthodes dépend considérablement du problème traité. Aussi, on se propose ici d'évaluer l'intérêt d'une approximation à variables séparées espace-temps dans le cadre de problèmes académiques de dynamique transitoire. On définit tout d'abord la meilleure approximation (au sens d'un problème de minimisation) de la solution d'un problème transitoire, sous la forme d'une représentation à variables séparées espace-temps. Le calcul de cette approximation étant basé sur l'hypothèse que la solution du problème de référence est connue (méthode a posteriori), la suite du manuscrit est dédiée à la construction d'une telle approximation sans autres connaissances a priori sur la solution de référence, que les opérateurs du problème espace-temps dont elle est solution (méthode a priori). Un formalisme générique, basé sur une représentation tensorielle des opérateurs du problème espace-temps est alors introduit dans un cadre multichamps. On développe ensuite un solveur exploitant ce format générique, pour construire une approximation à variables séparées espace-temps de la solution d'un problème transitoire. Ce solveur est basé sur la décomposition généralisée propre de la solution (Proper Generalized Decomposition - PGD). Un état de l'art des algorithmes existants permet alors d'évaluer l'efficacité des définitions classiques de la PGD pour approcher la solution de problèmes académiques de dynamique transitoire. Les résultats obtenus mettant en défaut l'optimalité de la PGD la plus robuste, une nouvelle définition, récemment introduite dans la littérature, est appliquée dans un cadre multichamps à la résolution d'un problème d'élastodynamique 2D. Cette nouvelle définition, basée sur la minimisation du résidu dans une norme idéale, permet finalement d'obtenir une très bonne approximation de la meilleure approximation de rang donné, sans avoir à calculer un grand nombre de modes espace-temps.

Numerical simulation of physical phenomena has become an indispensable part of the mechanical engineer's toolbox. Robust and flexible tools, based on classical approximation methods, are now commonly used in industry. However, these tools require lots of computational resources to solve complex problems. Even if such resources are more and more affordable thanks to the remarkable progress in computer industry, it is now necessary to propose innovative approximation methods in order to better exploit the impressive amount of computational resources that are todays available. Reduced order modeling techniques are presented as ideal candidates to address this issue. Among these, methods based on the construction of low rank separated approximations have been shown to be very efficient to approach solutions of a wide variety of problems, reducing computational costs by several orders of magnitude. Nonetheless, efficiency of these methods significantly depends on the considered problem. In this manuscript, we propose to evaluate interest of space-time separated representations to approach solutions of academical transient dynamic problems. We first define the best space-time separated approximation (with respect to a minimization problem) of a given solution of a transient problem. The construction of this approximation being based on the hypothesis that the problem's solution is known (a posteriori method), the following of the manuscript is dedicated to the construction of such an approximation without any other knowledge on the reference solution than the operators of the space-time problem from which it is solution (a priori method). We then introduce a generic formalism, based on the tensor product structure of the operators of the space-time problem, in a multi-field framework. Next, this formalism is used to develop a generic solver that builds a separated approximation of a transient problem's solution, with the help of the Proper Generalized Decomposition (PGD). A state of art of existing algorithms is done, and efficiency of classical definitions of PGD to approach solutions of several academical transient dynamic problems is evaluated. Numerical results highlight the lack of optimality of the more robust PGD. Therefore, a new PGD definition, recently introduced in literature, is applied to solution of an elastodynamic problem in a multi-field framework. This new definition is based on minimization of an ideal residual norm and allows to find a very good approximation of the best approximation of a given rank, without having to calculate more space-time modes than needed.