Thèse soutenue

Dualité homologique projective et résolutions catégoriques des singularités
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Auteur / Autrice : Roland Abuaf
Direction : Laurent Manivel
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 01/07/2013
Etablissement(s) : Grenoble
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
Jury : Président / Présidente : Christian Peskine
Examinateurs / Examinatrices : Michel Brion, Stéphane Druel, Paolo Stellari
Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Kuznetsov, Daniel Huybrechts

Résumé

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Soit X une variété algébrique de Gorenstein à singularités rationnelles. Une résolution des singularités crépante de X est souvent considérée comme une résolution des singularités minimales de X. Malheureusement, les résolutions crépantes sont très rares. Ainsi, les variétés déterminantielles de matrices anti-symétriques n'admettent jamais de résolution crépante des singularités. Dans cette thèse, on discutera de diverses notions de résolutions catégoriques crépantes développées par Alexander Kuznetsov. Conjecturalement, ces résolutions doivent être minimale du point de vue catégorique. On introduit dans ce manuscrit la notion de résolution magnifiques des singularités et on montre que tout variété munie d'une telle résolution admet une résolution catégorique faiblement crépante. On en déduit que toutes les variétés déterminantielles (carrées, symétriques et anti-symétriques) admettent des résolutions catégoriques faiblement crépantes. Finalement, on s'intéressera à des hypersurfaces quartiques issues du carré magique de Tits-Freudenthal. On ne peut pas construire de résolution magnifique des singularités pour de telles hypersurfaces, mais on montrera qu'elles admettent tout de même des résolutions catégorique faiblement crépantes des singularités. Ce résultat devrait s'avérer intéressant pour la construction de duales projectives homologiques de certaines Grassmaniennes symplectiques sur les algèbres de composition.